Question

Va rog sa ma ajuati.
Sa se arate ca urmatoarele numere sunt patarte perfecte:
1) a=(2+4+6+.......+4030) - 2015
2) b=2*(1+2+3+.......+2014) +2015
3) c=1+3+5+.......+2015

Answer 1

a)

(2+4+6+.....+4030)-2015=
2(1+2+3+...+2015)-2015=
2*2015*2016/2-2015  simplificam 2 cu 2=
2015*2016-2015=
2015(2016-1)=2015*2015=> patrat perfect

b)

2(1+2+3+.....+2014)+2015=
2*2014*2015/2+2015  simplificam 2 cu 2
2014*2015+2015=
2015(2014+1)=2015*2015=> patrat perfect

c)
 
1+3+5+.....+2015  avem  formula
1+3+5+.......+2n-1=n*n
la noi ultimul  termen este 2015 deci putem scrie ca 
2n-1=2015
2n=2016
n=1008

si 1+3+5+.....+2015=1008*1008 => nr este patrat perfect

Answer 2

a=2×(1+2+3+...+2015)-2015= 2×2015×(2015+1)÷2-2015=2×2015×2016÷2-2015=4062240-2015=4060225 si √4060225=2015 ⇒ a=2015²⇒este patrat perfect
b=2×2014×(2014+1)÷2+2015=2×2014×2015÷2+2015=4058210+2015=4060225 si √4060225=2015 ⇒b=2015²⇒este patrat perfect
c=(1+2+3+...+2015)-2+4+6+...+2014=(1+2+3+...+2015)-2×(1+2+3+...+1007)=2015×2016÷2-2×1007×1008÷2=2031120-1015056=1016064
si √1016064=1008 ⇒ c=1008² ⇒ este patrat perfect