Question

In dreptunghiul ABCD , consideram punctual E apartine de (CD) , astfel incat BE perpendicular pe AC. Aratati ca BC la puterea a doua = EC inmultit cu AB

Answer 1

Notam intersectia dintre BE si AC cu M. Atunci daca BM este perpendicular pe AC, rezulta ca BMC este perpendicular cu $\widehat{BMC}=90$
Unghiurile ramase intr-un triunghi dreptunghic sunt complementare(suma lor da 90 grade) atunci
$\widehat{MCB}+\widehat{MBC}=90 \Rightarrow \widehat{MCB}=90-\widehat{MBC}$(1)

triunghiul BCE este si el dreptunghic cu $\widehat{BCE}=90$ Atunci din nou celelalte unghiuri sunt complementare
$\widehat{CEB}+\widehat{EBC}=90 Rightarrow \widehat{CEB}=90-\widehat{EBC}Rightarrow \widehatCEB}=90-\widehat{MBC}$(2)
DIn (1) si (2) rezulta ca $\widehatCEB}=\widehat{MCB}=\widehat{ACB}$(3)

Acum stim ca in general tangenta unui triunghi dreptunghic are formula
$\tan=\frac{cateta opusa}{cateta alaturata}$

In triunghiul dreptunghic ECB EC si BC sunt catete, atunci
$\tan{CEB}=\frac{BC}{EC}$(4)

In triunghiul dreptunghic ABC, AB si BC sunt catete, atunci
$\tan{ACB}=\frac{AB}{BC}$(5)

In 3 am demonstrat ca cele doua unghiuri sunt egale, atunci si tangentele lor vor fi egale. Rezulta ca:
$\frac{BC}{EC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC^{2}=EC*AB$