Question

Va rog sa ma ajutati!!!​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) 3$3(a+b)^{2} \leq 4(a+b)^{2} -4ab\\ (a+b)^{2} -4ab\geq 0\\ a^{2} +2ab+b^{2} -4ab\geq 0\\ a^{2} -2ab+b^{2} \geq 0\\ (a-b)^{2} \geq 0$ oricare ar fi a, b∈R+

b) pentru fiecare radical se aplică inegalitatea mediilor

$\sqrt{x^{2}+ xy+y^{2} } =\sqrt{x^{2}+y^{2}+  xy} \geq \sqrt{2\sqrt{x^{2}y^{2}  }+  xy} = \sqrt{2xy+xy} =\sqrt{3xy} =\sqrt{3} \sqrt{xy}$, analog

$\\ \sqrt{y^{2}+yz+z^{2} } \geq\sqrt{3} \sqrt{yz}\\  \sqrt{z^{2}+zx+x^{2} } \geq\sqrt{3} \sqrt{zx}$

însumând membru cu membru cele 3 inegalități:

$\sqrt{x^{2}+ xy+y^{2} } +\sqrt{y^{2}+ yz+z^{2} }+\sqrt{z^{2}+ zx+x^{2} }\geq \sqrt{3} (\sqrt{xy} +\sqrt{yz} +\sqrt{zx} )\geq ...\geq \sqrt{3} (x+y+z)$