Matematică, întrebare adresată de Kronos01, 9 ani în urmă

Va rog sa ma ajutati cu aceasta problema.

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de stoicacostin20
1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Anexe:

stoicacostin20: Sper sa intelegi ceva
stoicacostin20: Pentru a intui formula aceea, am calculat suma ca si cand ar fi compusa din primele doua fractii. Dupa ca si cand ar fi compusa din primele trei fractii si tot asa pana am observat un tipar
stoicacostin20: cam asta e ideea
stoicacostin20: si dupa am demonstrat prin inductie matematica
Rayzen: Putea să fie și calculată, fără a intui neapărat răspunsul.
S-a întâmplat ca răspunsul să fie unul simplu.
Kronos01: Multumesc pentru ajutor!
stoicacostin20: Cu placere
Răspuns de Rayzen
2

Răspuns:

S =1- (k+2)\cdot 3^{-k-1}

Rezolvare:

S = \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{3^2}+\dfrac{5}{3^3}+...+\dfrac{2k+1}{3^{k+1}}\\ \\ S = 1\cdot 3^{-1}+3\cdot 3^{-2}+5\cdot 3^{-3}+...+(2k+1)\cdot 3^{-(k+1)}\\ \\ S(x) = 1\cdot x^{-1}+3\cdot x^{-2}+5\cdot x^{-3}+...+(2k+1)\cdot x^{-(k+1)}\\ \\ S(x) + x^{-1}+x^{-2}+...+x^{-(k+1)} = 2x^{-1}+4x^{-2}+...+2(k+1)x^{-(k+1)}\\ \\ S(x)+x^{-1}\cdot \dfrac{x^{-k-1}-1}{x^{-1}-1} = 2\Big(x^{-1}+ 2x^{-2}+3x^{-3}+...+(k+1)x^{-(k-1)}\Big)

x^{-1}S(x)+\dfrac{x^{-k-2}-x^{-1}}{1-x} = -2\Big(-x^{-2}-2x^{-3}-3x^{-4}-...-(k+1)x^{-(k+2)}\Big)\\ \\\\\text{Notez: }\, \sigma(x) = -x^{-2}-2x^{-3}-3x^{-4}-...-(k+1)x^{-(k+2)}\\ \\ \sigma(x) = \sum\limits_{i=1}^{k+1}(-ix^{-i-1})\\ \\ \int\sigma(x)\, dx =\sum\limits_{i=1}^{k+1}(x^{-i})+C\\ \\ \int\sigma(x)\, dx = x^{-1}+x^{-2}+...+x^{-(k+1)}+C\\ \\ \int \sigma(x)\, dx = x^{-1}\cdot \dfrac{x^{-k-1}-1}{x^{-1}-1}+C\Big|'

\sigma(x) = \Big(\dfrac{x^{-k-2}-x^{-1}}{x^{-1}-1}\Big)' \\ \\ \sigma(x) =\dfrac{\Big[(-k-2)x^{-k-3}+x^{-2}\Big](x^{-1}-1)+x^{-2}(x^{-k-2}-x^{-1})}{(x^{-1}-1)^2}

x^{-1}S(x)+\dfrac{x^{-k-2}-x^{-1}}{1-x} = -2\sigma(x)\\ \\\\\text{Fac }\, x = 3: \\ \\ \dfrac{S(3)}{3}+\dfrac{3^{-k-2}-3^{-1}}{1-3} = -2\sigma(3)\\ \\\\\sigma(3) =\dfrac{\Big[(-k-2)3^{-k-3}+3^{-2}\Big](3^{-1}-1)+3^{-2}(3^{-k-2}-3^{-1})}{(3^{-1}-1)^2}\\ \\ \sigma(3) = \dfrac{9}{4}\cdot \Bigg(\Big((-k-2)3^{-k-3}+3^{-2}\Big)(3^{-1}-1)+3^{-2}(3^{-k-2}-3^{-1})\Bigg)

\sigma(3) = \dfrac{1}{4}\cdot \Big((k+2)3^{-k-1}-1)\cdot \dfrac{2}{3} + 3^{-k-2}-3^{-1}\Big)\\ \\ 12\sigma(3) = 2(k+2)3^{-k-1}-2+3^{-k-1}-1

\dfrac{S(3)}{3}+\dfrac{3^{-k-2}-3^{-1}}{1-3} = -2\sigma(3) \\ \\ 2S(3)-3^{-k-1}+1 = -12\sigma(3)\\ \\ 2S(3) = -\Big[2(k+2)3^{-k-1}-2+3^{-k-1}-1\Big]+3^{-k-1}-1\\ \\ 2S(3) = -2(k+2)3^{-k-1}+2 \\ \\ S(3) =-(k+2)\cdot 3^{-k-1}+1\\\\\\\Rightarrow \boxed{S =1 - (k+2)\cdot 3^{-k-1}}


Kronos01: Multumesc pentru ajutor!
Rayzen: Cu plăcere!
Alte întrebări interesante