Question

vă rog să mă ajutați cu următoarea ecuatie

Answer 1

   
[tex]\displaystyle\\ \text{Avem ecuatia:}\\\\ \ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)+2\cdot \text{arctg}\left(x\right)-5=0\\\\ \text{Vom studia separat fiecare componenta a ecuatiei.}\\\\ \text{Functia }~\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right) ~~\text{este strict crescatoare pe intervalul }~(-1;~1)\\\\ \Longrightarrow~\text{Graficul functiei intersecteaza o singura data axa Ox}\\\\ \Longrightarrow~\text{Ecuatia }~\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)=0~\text{are o singura solutie}. [/tex]


[tex]\displaystyle\\ \text{Calculam solutia:}\\\\ \ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)=0\\\\ \frac{x+1}{1-x}=1\\\\ x+1=1-x\\ x+x = 1-1\\ 2x=0\\ x=0\\ \Longrightarrow~\text{Graficul functiei }~f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right) \\ \text{taie axa Ox in punctul }~O(0,~0).\\\\ \text{Functia ~arctg }(x) ~~\text{este strict crescatoare pe R.}\\ \Longrightarrow~~\text{Graficul functiei ~arctg }(x)~\text{ intersecteaza o singura data axa Ox.}} \\\\ \text{arctg }(x)=0\\x = 0+2k\pi [/tex]

[tex]\displaystyle\\ \text{doar ramura care trece prin O(0, 0) intersecteaza axa Ox}\\ \Longrightarrov~~\text{solutia } ~x=0~\text{ este unica.}\\ \Longrightarrov~~\text{Graficul functiei arctg(x) intersecteaza axa x in O(0, 0).}\\\\ \text{Rezulta ca suma primelor 2 functii din ecuatie este o functie }\\ \text{strict crescatoare care intersecteaza axa Ox in punctul O(0, 0) }\\ \text{deoarece: }~0 + 2\cdot 0 = 0\\\\ [/tex]


Pana acum am dovedit ca ecuatia are o singura solutie, dar nu am dovedit daca solutia este pozitiva sau negativa.
Daca ar fi doar suma celor 2 functii, unde  (ln + 2arctg = 0)  atunci solutia ar fi  (x = 0), dar din suma functiilor se scade 5.
⇒ (ln + arctg - 5 = 0)

Acest "- 5" este un termen liber care stabileste punctul unde graficul functiei 
se intersecteaza cu axa Oy.


[tex]\displaystyle\\ \Longrightarrow~~f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)+2\cdot\tan^{-1}\left(x\right)-5 \\\\ \text{este strict crescatoare, intersecteaza axa Oy in punctul (0, -5) }\\ \text{iar punctul de intersectie al axei Ox s-a deplasat spre dreapta lui 0,}\\ \text{datorita termenului liber, dar nu mai mare decat 1 deoarece: } [/tex]


[tex]\displaystyle\\ \text{functia:}~~\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)~~\text{este de\!finita pe intervalul: } ~(-1,~1)\\\\ \Longrightarrow~~\text{Ecuatia: }\\\\ \ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)+2\cdot\text{arctg}\left(x\right)-5=0\\\\ \boxed{\text{Are o singura solutie pozitiva}} [/tex]