Question

Va rog sa ma ajutati la urmatoarul ex(explicati fiecare pas facut de voi):1/1·2+1/2·3+1/3·4+...+1/2011·2012<1 dau COROANA

Answer 1

$\frac{1}{1*2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2*3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3*4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
....
$\frac{1}{2010*2011} = \frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}$
$\frac{1}{2011*2012} = \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012}$
                                                                                                    +
$\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4}+...+ \frac{1}{2010*2011} + \frac{1}{2011*2012} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2012} = \frac{2012-1}{2012} = \frac{2011}{2012}$<1

Answer 2

  
$Folosim \;formula: \\ \\ \frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \\ \frac{1}{1\cdot2}+ \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\hdots +\frac{1}{2011\cdot22012}= \\ \\ \frac{1}{1}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{3} +\frac{1}{3}- \frac{1}{4}+\hdots \frac{1}{2011}- \frac{1}{2012}= \\ \\ \frac{1}{1}- \frac{1}{2012}=\frac{2012}{2012}- \frac{1}{2012}=\frac{2012-1}{2012}=\boxed{\frac{2011}{2012}\ \textless \ 1} \\ cctd$