Question

Va rog subiectul 3 si 4

Answer 1

Subiectul III
a) H este ortocentrul in triunghiul ABC, atunci H este intersectia inaltimilor din triunghi, atunci stim ca BH este parte dintr-o inaltime din triunghi si BH este perpendiculara pe AC.(1)
O este centrul circumscris al triunghiului si intersectia tuturor mediatoarelor din triunghi. O este atunci mijlocul lui $AA^{\prime}$. Unim pe O cu mijlocul lui AC(sa zicem P), atunci OP este linie mijlocie in triunghiul $AA^{\prime}C$ atunci OP||$A^{\prime}C$. Dar O este intersectia mediatoarelor, atunci OP este mediatoarea laturii AC, adica OP este perpendicular pe AC. Rezulta de aici ca si $A^{\prime}C$ este perpendiculara pe AC(2)
Din 1 si 2, rezulta ca doua segmente sunt perpendiculare pe acelasi segment AC, atunci cele doua segmente sunt paralele BH||$A^{\prime}C$
b) Intr-un mod analog se poate arata ca $A^{\prime}B$||CH, anume
H ortocentru, atunci CH este perpendicular pe AB
notam cu Q centrul segmentului AB. Atunci OQ va fi linie mijlocie in triunghiul $AA^{\prime}B$ adica OQ||$A^{\prime}B$
Dar O este intersectia mediatoarelor, atunci OQ perpendicular pe AB, de unde rezulta ca si $A^{\prime}B$ este perpendicular pe AB
Stim ca si CH este perpendicular pe AB, atunci $A^{\prime}B$||CH

Deci stim ca $A^{\prime}B$||CH si BH||$A^{\prime}C$. Atunci unghiurile formate din drepte paralele unele cu altele vor fi egale, adica
$\angle{A^{\prime}BH}=\angle{A^{\prime}CH}$
Dar acestea sunt doua unghiuri opuse ale patrulaterului $BHCA^{\prime}$. Daca doua unghiuri opuse ale unui patrulater sunt congruente, inseamna ca acel patrulater este paralelogram.
c) Una din proprietatile paralelogramului este faptul ca diagonalele se injumatatesc la intersectia lor. Diagonalele paralelogramului sunt BC si $A^{\prime}H$, sa notam aceasta intersectie cu N. Atunci
$BN=CN$ si $HN=A^{\prime}N$

Mai trebuie sa stii o relatie si anume ca
daca avem un triunghi oarecare DEF si T este mijlocul laturiii EF,$ET=TF$ atunci DT este mediana in triunghi, si are urmatoarele relatii vectoriale
$\vec{DT}=\vec{DE}+\vec{ET}$
$\vec{DT}=\vec{DF}+\vec{FT}$
Adunam cele 2 relatii
$2\vec{DT}=\vec{DE}+\vec{DF}+\vec{ET}+\vec{FT}=\vec{DE}+\vec{DF}+\vec{ET}-\vec{TF}=\vec{DE}+\vec{DF}+\vec{ET}-\vec{ET}=\vec{DE}+\vec{DF}$
deci practic de 2 ori mediana vectoriala este suma vectoriala a laturilor adiacente varfului din care pleaca mediana
Stiind asta, aplicam mai intai pentru triunghiul $MAA^{\prime}$ unde O este la jumatatea laturii $AA^{\prime}$ deci MO este mediana triunghiului
$2\vec{MO}=\vec{MA}+\vec{MA^{\prime}}\Rightarrow \vec{MA^{\prime}}=2\vec{MO}-\vec{MA}$
N este mijlocul lui BC, deci in triunghiul MBC avem relatia
$2\vec{MN}=\vec{MB}+\vec{MC}$
dar N este si mijlocul lui $A^{\prime}H$ atunci in triunghiul $MA^{\prime}H$ avem
$2\vec{MN}=\vec{MH}+\vec{MA^{\prime}}$
Observam ca ultimele 2 relatii sunt egale
$\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{MH}+\vec{MA^{\prime}}=\vec{MH}+2\vec{MO}-\vec{MA}\Rightarrow \vec{MH}=\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MO}$
d) Ne folosim de relatia de la punctul C
$\vec{MH}=\vec{MO}+\vec{OH}=\vec{MO}+\vec{OA}+\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}=\vec{MO}+\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\Rightarrow \vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$
e) Ne uitam la triunghiul $AA^{\prime}H$ observam ca HO este mediana in triunghi corespunzatoare laturii $AA^{\prime}$ si AN este mediana corespunzatoare laturii $A^{\prime}H$. Atunci intersectia celor doua mediane este centrul de greutate al triunghiului $AA^{\prime}H$ notat cu G2.
Rezulta ca G2 apartine segmentului HO, deci O H si G sunt coliniare.
 Noi stim ca un centru de greutate imparte mediana intr-o treime fata de baza comparativ cu intreaga mediana
$G2N=\frac{1}{3}*AN$
Dar stim ca AN este si mediana din triunghiul ABC corespunzatoare laturii BC. Deci daca consideram punctul G centrul de greutate al lui ABC, atunci
$GN=\frac{1}{3}*AN$ si G apartine lui AN. Din ultimele 2 relatii, rezulta ca cele doua puncte sunt de fapt acelas G2=G, si folosindu-ne de concluzia de mai sus:
O,G si H sunt puncte coliniare, si G fiind centrul de greutate al triunghiului $AA^{\prime}H$ si HO fiind mediana, atunci
$OG=\frac[1}{3}OH\Rightarrow OH=3OG$