Question

Va rogg ajutati-ma, am nevoie urgentaa!

Fie expresia E(x) = [(x-3/x+3)^2 + 2x-6/x+3 +1] x x+3/2x, unde x e R \ {-3,0}
a) Aratati ca E(x) =2x/x+3 ,oricare ar fi x e R \{-3,0}
b) Verificati daca exista numere naturale n , diferite de 0, pentru care 1/n * E(n) este numar intreg.
c) Determinati numerele intregi x pentru care E(x) este numar intreh/

Answer 1

[tex]\it E(x) = \left[\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)^2+\dfrac{2x-6}{x+3} +1\right]\cdot \dfrac{x+3}{2x} \\\;\\ \\\;\\ E(x) = \left[\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)^2+\dfrac{2(x-3)}{x+3} +1\right]\cdot \dfrac{x+3}{2x} [/tex]

Notăm x - 3 = a  și  x+3 = b, iar expresia din paranteza dreaptă devine:


$\it \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{2a}{b}+1 =\dfrac{a^2+2ab+b^2}{b^2}=\dfrac{(a+b)^2}{b^2}$

Revenim asupra notației și obținem:

$\it E(x) = \dfrac{(x-3+x+3)^2}{(x+3)^2}\cdot \dfrac{x+3}{2x} =\dfrac{4x^2}{(x+3)\cdot2x} = \dfrac{2x}{x+3}$

b)

(1/n)·E(n) = (1/n)(2n/n+3) =2/(n+3)

Fracția 2/(n+3) este subunitară, pentru oricare n -natural, deci:

(1/n)·E(n) ∉ ℕ

c)

2x/(x+3)∈ℤ ⇒ x+3|2x   (1)

Dar, x+3|x+3⇒ x+3 | 2(x+3) ⇒ x+3 | 2x+6    (2)

Din relațiile (1), (2) ⇒x+3 | 2x+6-2x ⇒ x+3 | 6 ⇒ x+3 ∈ {±1,  ±2,  ±3,  ±6} ⇒
 
⇒ x+3 ∈ {-6, -3, -2, -1, 1,  2,  3,  6} |-3 ⇒ x ∈ {-9,  -6,  -5,  -4,  -2,  -1,  0,  3}