Question

VA ROGG
În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, pe care sunt situate punctele A, B, C și D (în această ordine), astfel încât 0,25×AB=0,3×BC=0,2×CD=0,1(6) ×AD, iar AB¤DC={M}. a) Determină măsurile arcelor AB, BC, CD şi AD. b) Calculează măsura unghiului AMD.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$0,1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

0,25×AB = 0,3×BC = 0,2×CD = 0,1(6)×AD = k

$AB = \frac{k}{0.25} = 4k \\ BC = \frac{k}{0.3} = \frac{10k}{3} \\ CD = \frac{k}{0.2} = 5k \\ AD = \frac{k}{0.1(6)} = 6k$

m(arcAB) + m(arcBC) + m(arcCD) + m(arcAD) = 360°

$4k + \frac{10k}{3} + 5k + 6k = 15k + \frac{10k}{3} = \frac{55k}{3} = 360 \\ k = \frac{3 \times 360}{55} = > k = \frac{216}{11}$

=>

$AB = 4k = \frac{4 \times 216}{11} = \frac{864}{11} \\ BC = \frac{10k}{3} = \frac{10 \times 216}{3 \times 11} = \frac{720}{11} \\ CD = 5k = \frac{5 \times 216}{11} = \frac{1080}{11} \\ AD = 6k = \frac{6 \times 216}{11} = \frac{1296}{11}$

m(arcAB) ≈ 78,(54)°; m(arcBC) ≈ 65,(45)° ; m(arcCD) ≈ 98,(18)° ; m(arcAD) = 117,(81)°

b) măsura unghiului AMD este egală cu jumătate din diferența măsurilor arcelor mici (AD și BC)

=>

$m(\angle AMD) = \frac{1}{2} \times \left(m_{arc_{mic}} AD) - m_{arc_{mic}}BC) \right) \\ = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1296}{11} - \frac{720}{11} \right) = \frac{576}{2 \times 11} = \frac{288}{11} \\ => m(\angle AMD) = 26.(18)$