Question

Va roggg frumossss cele doua probleme , macar una din ele daca se poate.

Answer 1

3.

a)

sin(∡CAB) = 1 / 2  ==>  m(∡CAB) = 30°
AC ⊥ CB  ==>  ΔACB este dreptunghic in C ==> AB = 2CB = 36 cm (teorema unghiului de 30°)

m(∡CAB) = 30° si m(∡ACB) = 90°  ==>  m(∡ACB) = 60°  ==>  m(∡BCD) = m(∡ADC) = 180° - m(∡ABC) = 120° (unghiuri complementare)

m(∡DCA) = m(∡BCD) - m(∡ACB) = 120°° - 90° = 30°

m(∡ADC) = 180° si m(∡DCA) = 30°  ==>  m(∡DAC) = 30°  ==> ΔADC isoscel cu AD = DC

P = AB + BC + DC + AD = AB + 3CB = 36 + 18 = 54 cm

Diagonala BD = AC = √(AB² - BC²) = 18√3 cm (Pitagora)

b)

Fie CE inaltimea trapezului, E ∈ AB
Dar CE este si inaltimea triunghiului dreptunghic ABC, dusa din varful unghiului drept pe ipotenuza, asadar poate fi afla din formula:

CE = cateta1 * cateta2 / ipotenuza = BC * AC / AB = 18 * 18√3 / 36 = 9√3 cm

Aria ABCD = (AB + CD) * CE / 2 = 243√3 cm²

4.

a)

Tangenta unghiului unui triunghi dreptunghic este raportul dintre cateta opusa si cea alaturata.

tg(∡CAB) = BC / AB = √3 / √5

AB = BC√5 / √3 = 4√5 cm

Pitagora in ΔABC (m(∡B) = 90°): Diagonala  AC = √(AB² + BC²) = 8√2 cm

b)

P = 2(AB + BC) = 8(√3 + √5) cm
A = AB * BC = 16√15 cm²

c)

Fie BD ∩ AC = {O} si CE ⊥ BD, E ∈ BD

Noi trebuie sa aflam sin(∡BOC)

ABCD - dreptunghi ==> m(∡BAC) = m(∡BDC) ==>
==> tg(∡BDC) = tg(∡BAC) = √3 / √5

Dar tg(∡BDC) = tg(∡FDC)= cateta opusa / cateta alaturata = FC / FD (in triunghiul dreptunghic FCD)

FC  / FD = √3 / √5 ==> FD =(FC√5) / √3

Pitagora in FCD: CD² = FD² + FC² = ( (FC√5) / √3 )² + FC² = 5FC² / 3 + FC²

3CD² = 5FC² + 3FC²  ==>  FC = √(3CD² / 8) = (CD√3) / √8 = √30 cm

ABCD - dreptunghi ==> AO = OC = AC / 2 = 4√2

sin(∡BOC) = sin(∡FOC) = cateta opusa / ipotenuza = FC / OC = (√15) / 4