Matematică, întrebare adresată de xfaiter02, 9 ani în urmă

Va roog(cred ca e ceva legat de inegalitatea mediilor...)

Anexe:

albastruverde12: Am adaugat mai multe solutii. Primele doua merg si la clasa; ultimele doua sunt la nivel de olimpiada.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de albastruverde12
3
\displaystyle Este~vorba~despre~binecunoscuta~inegalitate~ \\  \\  a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}. \\  \\ ------------------------------ \\  \\ Poate~fi~demonstrata~in~mai~multe~moduri: \\  \\ 1.~Inegalitatea~este~echivalenta~cu~ \\  \\ 3(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ac \Leftrightarrow \\  \\ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2ab+2bc+2ac \Leftrightarrow  \\  \\ \Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+c^2) \geq 0 \Leftrightarrow  \\  \\
\displaystyle \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2  \geq 0,~evident~adevarata,~caci \\  \\ x^2 \geq 0~\forall~x \in \mathbb{R}. \\  \\ 2.~ Inegalitatea~a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac ~mai~poate~fi~\\  \\demonstrata~ astel: \\  \\  Din~inegalitatea~mediilor~avem~x^2+y^2 \geq 2|x||y| \geq2xy. \\  \\ Rezulta~totodata~din~faptul~ca~(x-y)^2 \geq 0.~ \\  \\ a^2+b^2 \geq 2ab \\  \\ b^2+c^2 \geq 2bc \\  \\ a^2+c^2 \geq 2ac \\  \\ Prin~insumare~obtinem~2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ac).
\displaystyle 3.~O~alta~metoda:~Aplicam~inegalitatea~Cauchy-Buniakovski- \\  \\ Schwartz. \\  \\ \frac{a^2}{1}+ \frac{b^2}{1}+ \frac{c^2}{1} \geq \frac{(a+b+c)^2}{1+1+1}. \\  \\ 4.~Se~poate~totodata~observa~ca~inegalitatea~provine~din~inegalitatea \\  \\ rearanjarii.

xfaiter02: multumesc ca mi-ai luminat mintea cu acea inegalitate....am incercat cu media aritmetica si geometrica dar nu a functionat...mii de multumiri :)
albastruverde12: Cu mare placere! :)
albastruverde12: Am omis 2 metode: 5. Jensen // 6. Cebisev. Dar la o adica, cred ca se pot gasi foarte multe solutii. :))
Alte întrebări interesante