Question

Valoarea minima a expresiei...

Answer 1

Raspunsul este c) dar e greu de demonstrat. Inca ma chinui la el. Observi ca trebuie sa alegi 3 numere, dar suma lor sa fie 1, poti lua ca exemplu 1/3, 1/3 si 1/3. Oricum ai lua acele numere, rapoartele 1/x 1/y si 1/z vor fi invers proportionale cu numerele alese. Asadar nu conteaza ce numere alegi, important e ca suma lor sa fie 1. Rapoartele fiind invers proportionale cu ele, vor avea mereu aceeasi suma.Ca exemplu poti lua x=1/3, y=1/3 si z=1/3, suma 1/x +1/y + 1/z este 9.

Intre timp ma mai gandes la o rezolvare mai elaborata ca asta e prea empirica.
Daca e test grila, demonstratia asta e suficienta. Daca iti cere si demonstratie, cam nasol.

Answer 2

x +y+z =1  ⇒ 1/x = 1 + y/x +z/x   ; 1 /y = 1 + x /y +z/y  ; 1/z = 1 + y/z +x /z
1/x +1/y +1/z = 3 + ( y/x + x /y) + ( z/x +x /z ) + ( y/z + z / y) 
dar  x/y + y/x ≥ 2  ⇒  1/x +1/y +1/z ≥ 9 
pentru egalitate x/y + y /x = 2  ⇒ x  = y 
                      x /z + z/x = 2        x =z 
                      y/z +z /y = 2           y=z 
deci  x =y =z   cu x +y+z =1 ⇒
⇒ x +y+z = 1/3 
1/x +1/y +1/z = 9