Question

Viteza sunetului in gaze depinde de densitate,presiune,volum . Sa se afle x.y.z folosind analiza dimensionala

v=$Cp^{x} p^{y} v^{z}$

Answer 1

Exprimam unitatile de masura ale tuturor marimilor implicate, in functie de cele 7 marimi fundamentale ale sistemul internațional de unități.

$[\rho]=kg\cdot m^{-3};\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[p]=kg\cdot s^{-2}\cdot m^{-1}; \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[V]=m^3$

$[v]=m\cdot s^{-1}$

Scriind relatia dimensionala:

$[v]= [\rho]^x[p]^y[V]^z\iff v=C\rho^xp^yV^z, \text{ unde }C\text{ este o constanta arbitrara}$

Asadar:

$m\cdot s^{-1}=(kg\cdot m^{-3})^x(kg\cdot s^{-2}\cdot m^{-1})^y(m^3)^z\\\\m^1\cdot s^{-1}=m^{-3x-y+3z}\cdot kg^{x+y}\cdot s^{-2y}\\\\\text{Prin identificarea exponentilor din stanga si dreapta:}\\\\\begin{cases}1=-3x-y+3z\\x+y=0\\-2y=-1\end{cases}\\\\y=1/2,\:\:\:\:x=-1/2,\:\:\:\:z=0\\\\v=C\rho^{-1/2}p^{1/2}=C\sqrt{\dfrac{p}{\rho}}$

Observatii: Se poate observa ca rezultatul nu depinde de volum de fapt. Constanta de proportionalitate se dovedeste a fi chiar $C=\sqrt{\gamma}$, radical din exponentul adiabatic, conform legii Newton-Laplace.