Question

|x^2-x|<x
..............​

Answer 1

Răspuns:

x ∈ (0, 2)

Explicație pas cu pas:

x = 0 nu este solutie a ineecuatiei, pt ca 0 NU este < 0,  deci putem simplifica cu el:

I x -1 I < 1

1. Pt x > 1: x-1 < 1, x < 2, deci intersectand intervalele avem x ∈ (1, 2)

sau

2. Pt x < 1: 1-x < 1, x > 0, deci dupa intersectia intervalelor avem x ∈ (0, 1)

3. Pt x = 1 avem I 1 - 1 I = I 0 I = 0 < 1 , deci x=1 este si ea solutie a inecuatiei.

Reunind solutiile de la 1, 2 si 3 avem:

x ∈ (0, 2).

Answer 2

$\it \left.\begin{aligned}|x^2-x|\geq0\\ \\ |x^2-x|<x \end{aligned}\right\} \Rightarrow\ x>0\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ |x^2-x|=|x(x-1)|=|x|\cdot|x-1|\stackrel{(1)}{=}\ x|x-1|\ \ \ \ \ (2)\\ \\ |x^2-x|<x\ \stackrel{(2)}{\Longrightarrow}\ x|x-1|<x\Big|_{:x} \Rightarrow|x-1|<1 \Rightarrow -1<x-1<1\Big|_{+1} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow0<x<2 \Rightarrow x\in(0,\ \ 2)$