Question

x aparține (0; pi/4), tg x + ctg x = 3. Calculați ctg (2x).

​

Answer 1

Răspuns:

p.s.  în caz că nu se vede..  ai imagine.. Succese!

Explicație pas cu pas:

ctg(2x)=(ctg²x-1)/(2·ctgx).   deci tr. să aflăm ctgx.

tgx+ctgx=3, ⇒(1/ctgx)+ctgx=3 |·ctgx ≠0 pentru x ∈ (0; pi/4)

⇒ctg²x-3ctgx+1=0, notăm ctgx=y, ⇒y²-3y+1=0, Δ=9-4=5, ⇒

ctgx=(3-√5)/2  sau ctgx=(3+√5)/2. Pentru x∈ (0; pi/4), ctgx > 1, deci

ctgx=(3+√5)/2.  Atunci,

$ctg(2x)=\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}=\dfrac{(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2-1 }{2*\frac{3+\sqrt{5} }{2} }=\dfrac{9+5+6\sqrt{5}-4}{4*(3+\sqrt{5}) }=\dfrac{2*(5+3\sqrt{5}) }{4*(3+\sqrt{5}) }=\\\dfrac{(5+3\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{2*(3+\sqrt{5})*(3-\sqrt{5})} =\dfrac{4\sqrt{5} }{2*(3^2-(\sqrt{5})^2) } =\dfrac{\sqrt{5} }{2}$

ps. formula lui ctg(2x) apare din:

ctg(2x)=cos(2x)/sin(2x)=(cos²x-sin²x)/(2sinx·cosx)    

Acum împărțim la sin²x și numărătorul, și numitorul și apare acea formulă,,,,