Question

(x+y)×(z+1)+xy+z$\leq$$6\sqrt{xyz}$

Aflati nr reale x, y, si z ! :P

Answer 1

In stanga desfac paranteza si aranjez termenii, apoi aduc un doi din dreapta:

$\dfrac{xy+yz+xz+x+y+z}{2} \leq 3\sqrt{xyz}\\ \\ \\ \dfrac{xy+z}{2}+\dfrac{yz+x}{2}+\dfrac{xz+y}{2} \leq \sqrt{(xy)z}+\sqrt{(yz)x}+\sqrt{(xz)y}$

In stanga avem 3 medii aritmetice, iar in dreapta 3 medii geometrice. Teoria sune ca m. aritmetica este mai mare sau egala cu m. geometrica. Egalitatea se intampla cand termanii sunt egali.

Acum, inegalitatea noastra e pe dos: in loc sa fie $\geq$,  ea este  $\leq$.

Singura posibilitate este ca toti termenii mediilor sa fie egali intre ei, astfel:

$xy=z\\ yz=x\\ xz=y$

Inlocuind din a treia ijn prima, avem:
$x^2z=z\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x^2=1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x=\pm 1$

Pentru x=1, ecuatiile devin:
$y=z\\ yz=1\\ z=y\\ \Rightarrow y=\pm 1$

................... etc, etc................

Impresia mea este ca o singura solutie e buna :  $x=y=z=1.$