Question

x1,x2,x3 radacinile polinomului , f= X la 3 - 2X la 2+ 3X+m
a) aratati ca x1 la 2+ x2 la 2 + x3 la 2 = -2
b) det nr m stiind ca x1 la 3 + x2 la 3 + x3 la 3 =8
Heelp

Answer 1

E clar că pentru exercițiile de genul trebuie să folosim Viette, de obicei, cred. :))
Așadar, hai să structurăm puțin mai ok exercițiul:
f = X³ - 2X² + 3X + m
a = 1
b = -2
c = 3
d = m
Iar acum, câteva din ecuațiile de la Viette:
V1(S) = x1+x2+x3+x4 = -b/a = -2/1 = -2
V2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 3/1 = 3

Iar acum să trecem la lucru:
a)
Aici vedem că avem rădăcinile la puterea a 2-a. Acest lucru l-am puteam obține parțial dacă am ridica la a 2-a suma lui Viette (V1 sau S).
V1² = (x1+x2+x3)² = (x1+x2+x3)(x1+x2+x3)
= x1² + x1x2 + x1x3 + x2x1 + x2² + x2x3 + x3x1 + x3x2 + x3²
= x1² + x2² + x3² + 2*x1x2 + 2*x1x3 + 2*x2x3
= x1² + x2² + x3² + 2(x1x2+x1x3+x2x3)
Iar aici vedem că am dat chiar de V2-ul de mai sus :))
= x1² + x2² + x3² + 2*V2

Deci V1² = (-2)² = 4
=> 4 = x1² + x2² + x3² + 2*V2
=> 4 = x1² + x2² + x3² + 2*3
=> x1² + x2² + x3² = 4-6 = -2

Deci îi gata. :))

b) Aici se face puțin diferit. Se înlocuiesc soluțiile în polinom.
Adică știm că dacă am pune în loc de X, o rădăcină, polinomul ar fi = 0, adică ăsta e și sensul rădăcinii, asta zice teoria.
Spre exemplu, înlocuim X cu x1:
x1³ - 2 x1² + 3 x1 + m = 0
x2³ - 2 x2² + 3 x2 + m = 0
x3³ - 2 x3² + 3 x3 + m = 0
-------------------------------- (le adunăm)
x1³ + x2³ + x3³ - 2 x1² - 2 x2² - 2 x3² + 3 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 3m = 0
x1³ + x2³ + x3³ - 2(x1² + x2² + x3²) + 3(x1 + x2 + x3) + 3m = 0
Vedem că aici am dat chiar de chestia pe care am calculat-o la a), și am dat și de suma lui Viette (V1 sau S).
Așadar, înlocuind:
x1³ + x2³ + x3³ - 2(-2) + 3*(-2) + 3m = 0
x1³ + x2³ + x3³ + 4 - 6 + 3m = 0
x1³ + x2³ + x3³ -2 + 3m = 0
x1³ + x2³ + x3³ = 2 - 3m
Tot din ipoteză știm că suma acestor 3 cuburi este 8. Deci iar înlocuim:
2-3m = 8
-3m = 6
m = 6/-3 = -2

Sper că n-am greșit nimic, important e să prinzi ideea de rezolvare :))