Question

z²=|z|

Am nevoie de ajutor la aceasta intrebare,sau cel putin daca nu cumva z² are o formula anume

Answer 1

$\it Fie\ z=x+yi \Rightarrow\ \begin{cases} \it z^2=(x+yi)^2=x^2+2xyi-y^2\\ \\ \it |z|=\sqrt{x^2+y^2}\end{cases}$

$\it z^2=|z| \Rightarrow x^2+2xyi-y^2=\sqrt{x^2+y^2}\ \ \ \ \ (1)\\ \\ |z| \in \mathbb{R}_+\ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow y=0\ \ \Rightarrow z=x$

Acum, relația din enunț devine:

$\it x^2=|x| \Rightarrow x\in\{-1,\ 0,\ 1\}$

Answer 2

Răspuns:

S= {-1;1;0}∈R

Explicație pas cu pas:

pai are formula generala

z=a+bi

z²=(a+bi)²=a²+2abi-b²

la bunul simt observi imediat ca 0, 1, sunt solutii si ca are nu ai solutii reale

|z| real prin definitie

a²-b²+2abi=√(a²+b²) =c

deci 2ab=0

pt b=0 obtinem a²=√a²=|a| cu solutiile a=1 si a=-1

pt a=0

-b²=√b²=|b|≥0, deci b=0

S= {-1;1;0}∈R