Question

1+3+5+. +( 2n - 1)= n la a doua.

Answer 1

● Răspuns:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) =

= (2·1 - 1) + (2·2 - 1) + (2·3 - 1) + .. + (2·n - 1)

= 2·(1 + 2 + 3 + .. + n) - 1 - 1 - .. - 1  (n ori)

aplicam formula Suma lui Gauss

= 2·n(n + 1):2 - 1·n

= n(n + 1) - n

= n² + n - n

= n²

q.e.d.

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Formula lui Gauss pentru sume de numere impare (suma începe cu numărul 1):

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n}^{2}$

demonstrație:

la fiecare termen, adăugăm 1 și scădem 1:

$(1 + 1 - 1) + (3 + 1 - 1) + (5 + 1 - 1) + ... + [(2n - 1) + 1 - 1] =$

$= (2 + 4 + 6 + ... + 2n) - \underbrace{(1 + 1 + 1 + ... + 1)}_{n}$

$= 2 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + n) - n$

$= 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} - n$

$= n(n + 1) - n = {n}^{2} + n - n$

$= {n}^{2}$