Question

1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21. ....


Cum aflam pe cu linie este numarul 501 si care e formula termenului general?

Answer 1

Răspuns:

linia 22, termenul general an=1+(n+2)(n-1)

Explicație pas cu pas:

numerele de pe diagonală 1,5,11,19,... sunt generate de formula termenului de rang n, unde n este numărul liniei în care este situat numărul

an=1+(n+2)(n-1).

Cum a apărut această formulă?

a1=1

a2=a1+2*2=1+4=5

a3=a2+2*3=a1+2*2+2*3=1+4+6=11

a4=a3+2*4=a1+2*2+2*3+2*4=19

....

an=a1+2*2+2*3+2*4+...+2*n=a1+2*(2+3+4+...+n)=a1+2*(2+n)*(n-1):2=

=a1+(n+2)(n-1)

Pentru a determina pe ce linie se află 501, luăm condiția an≥501,

1+(n+2)(n-1)≥501, n²+n-502≥0, cea mai mică valoare naturală a lui n este 22, care satisface această relație. Deci 501 se află în linia 22.

verificăm: a22=1+(22+2)(22-1)=1+24*21=505.

505 este ultimul element din linia 22.

501 este mai mic decât ultimul număr din linia 22.

Answer 2

Răspuns:

Linia 22.

Explicație pas cu pas:

Sirul este 1,3,7,13,21,...

a1 = 1

a2 = a1+2

a3 = a2+4

a4 = a3+6

....

an = a(n-1) + 2n-2

=> a1+a2+....+an = a1+a2+...+a(n-1)+1+2+4+6+...+(2n-2)

=> an = 2(0+1+2+3+...+(n-1) + 1 = (n-1)n + 1

=> an = n(n-1) + 1, iar dupa an sunt n numere pana la a(n+1)

Înseamnă că a(n+1) = an+2+2+2 (de n ori) =>

=> a(n+1) = an+2n

deci asta inseamna ca an ≤ 501 ≤ a(n+1) ⇒

⇒ (n-1)n+1 ≤ 501 ⇒ (n-1)n+1+2n ⇒ (n-1)n ≤ 500 ≤ (n-1)n+2n ⇒

⇒ n = 22, deoarece 21·22 ≤ 500 ≤ 21·22+44 ⇒ 462 ≤ 500 ≤ 506 ⇒

⇒ 463 ≤ 501 ≤ 507

Deci linia 22 va fi așa:

463, 465, 467, 469,...,501,503,505

Apoi linia 23:

507, 509, 511, 513,....

Asta înseamnă că 501 se află pe linia 22.