Question

1.Aratati ca in orice trapez ABCD , AB paralel CD , triunghi AOD si triunghi COBsunt echivalente.

2.Triunghi  ABC este un triunghi oarecare . Aratati ca mijloacele laturilor  si punctul D sunt varfurile  unui trapez isoscel , unde D este piciorul inaltimii din A a triunghiului ABC.

Answer 1

1) $A_{AOD}=A_{ABD}-A_{AOB}$ (1)
$A_{BOC}=A_{ABC}-A_{AOB}$ (2)
Dar triunghiurile ABD și ABC au aceeași arie pentru că au baza comună AB și înălțimile sunt egale. Deci diferențele (1) și (2) sunt egale.

2) Fie M, N, P mijloacele laturilor BC, AC, AB.
PN este linie mijlocie în triunghi, deci PN e paralelă cu DM, deci patrulaterul este trapez.
MN este l.m. în triunghiul ABC, deci este jumătate din AB.
PD este mediană in triunghiul dreptunghic ADB, deci este jumătate din ipotenuză, adică din AB. Rezultă că laturile neparalele ale trapezului sunt egale, deci este trapez isoscel.