Question

1. Cate numere naturale de 3 cifre nu se divid cu 17 ?
2. Cate numere naturale de 4 cifre nu se divid cu 41 ?
3. Determinati numarul numerelor naturale de trei cifre care sunt divizibile cu 2 si cu 3.
4. Determinati numarul numerelor naturale de trei cifre care sunt divizibile cu 4 si cu 6.
5. Demonstrati ca 10⁹ Ι (1·2·3·...·40) .
6. Restul impartirii numarului natural a la 20 este 15. Aratati ca a este divizibil cu 5.
7. Restul impartirii numarului natural a la 42este 36. Aratati ca a este divizibil cu 6.
8. Restul impartirii numarului natural a la55 este 33. Aratati ca a este divizibil cu 11.
9. Restul impartirii numarului natural a la 75 este 50. Aratati ca a este divizibil cu 25

Answer 1

1.  100  = 17·5 +15      102 = 17·6    (102 = cel mai mic nr.divizibil cu 17)
999 = 17·58 + 13    999 - 13 = 17·58   (986 = cel mai mare nr. div. cu 17)
intre 6·17 si 58·17 exista 58 - 6 + 1 = 53 de numere divizibile cu 17
total numere = 999 -100 +1 =900 numere ⇒900 - 53= 847 nr. nu se divid cu17
2.  1000 = 41·24+16    1025 = 41·25       (1025 = primul nr. divizibil)
9999 = 41·243 +36    9963 = 41·243    (9963 = ultim nr.)
intre 41·25 si 41·243 sunt 218 numere
total nr. = 9999 - 1000 + 1 = 9000     9000 - 218 = 8782 nr. nedivizib.
3. divizibile cu 2 si cu 3 = divizibile cu 6
100 = 6·16 + 4    102 = 6·17  - primul div.
999 = 6·166 + 3    996 = 6·166 ultimul div.     166 - 17 + 1 = 150  numere divizibile
4. div. cu 4 si cu 6 ⇔ div. cu 12
100 = 12·8 + 4    108 = 12·9  primul nr.
999 = 12·83 + 3  996 = 12·83 ultimul nr.  83 - 9 + 1 = 75 numere
5. 1·2·3·......10             2 zerouri
11.12.13··.......20         2 zerouri
21·22·...........·30          3 zerouri
31·32·.............40          2 zerouri    total: 9 zerouri ⇒ P divizibil cu 10^9
6.  n = 20c + 15 = 5(4c + 3) = divizibil cu 5
7. n = 42c + 36 = 6(7c + 6) = divizibil cu 6
8. n = 55c + 33 = 11(5c + 3) = divizibil cu 11
9. n = 75c + 50 = 25(3c + 2) = dvizibil cu 25