Question

1 . Demonstrati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte : 
a). 111 111 111 111 ; 
b). 987 654 .
2 . Determinati cel mai mic numar natural care are suma cifrelor 2013 . 

Answer 1

Acelasi exercitiu l.am avut si eu ,deci nu sunt sigura daca e bine ,dar incearca la :a) 111111111111 este divizibil cu 12 dar nu este divizibil cu 24 ,deci nu este patrat perfect . b) 987654 este divizibil cu 6 ,dar nu este divizibil cu 9,deci nu este patrat perfect . Si la exercitiul ala cu 2013 nici eu nu am stiut . Sper ca te.am ajutat.

Answer 2

1)
Teorie
Un numar este patrat perfect daca, la descompunerea in factori primi,  toti exponentii factorilor primi  sunt numere pare.  Daca un singur exponent nu este numar par atunci numarul nu este patrat perfect.

Nu trebuie sa descompunem numarul in factori primi. Este suficient sa gasim un numar prim "p", care sa fie divizor al numarului dar "p²" sa nu fie divizor al numarului si atunci am demonstrat ca unul din factorii primi este la puterea 1 care este putere impara. Rezulta ca numarul nu este patrat perfect.

Rezolvare
a)  
111.111.111.111
Suma cifrelor este 12
=> numarul se imparte la 3 dar nu se imparte la 9 (9 = 3²)
=> 3 este un factor prim la puterea 1, putere impara.
=> numarul nu este patrat perfect.

b)
987 654
Numarul este par, deci este divizibil cu 2.
Dar nu este divizibil cu 4 numarul format din ultimele doua cifre nu se imparte la 4.
=> 2 este un factor prim la puterea 1, putere impara.

Inca un criteriu pentru acest numar:
Suma cifrelor este 39
=> numarul se imparte la 3 dar nu se imparte la 9 (9 = 3²)
=> 3 este un factor prim la puterea 1, putere impara.
=> numarul nu este patrat perfect.

Am demonstrat ca acest numar are doi factori primi la putere impara.

2)
La aceeasi suma a cifrelor, pentru ca un numar sa fie cat mai mic trebuie sa aiba cifre cat mai mari.
=> Pentru a gasi cel mai mic numar, vom folosi cele mai mari cifre sdica cifre de 9 si completam cu o cifra mai mica deoarece numarul 2013 nu se divide cu 9.
Pentru a afla cati de 9 ne trebuie facem calculul:
2013 : 9 = 223 rest 6
Numarul va contine 223 de 9 si un 6

Numarul este:
699999....... 99999
  \__223 de 9____/