Question

1. Fie a,b € N* cu a+b=120 si (a,b)=10. Aflati a,b 2. Aflati n € N stiind ca 3/2n+1 € N 3. Aflati cel mi mic numar natural care împărțit la 7, 12 si 17 da de fiecare data restul 3.

Answer 1

1.

Poți nota a = 10*x și b = 10*y așa ca (x,y) = 1.

Deci ai x + y = 12 și (x,y) = 1. x și y sunt de aceeași paritate (suma pară) și cum nu pot fi numere pare (dacă ar fi pare (x,y) = 2), suntem limitați la numere impare.

Avem două variante: sau 1 și 11 și atunci a și b sunt 10 și 110, sau 5 și 7 și atunci a și b sunt 50 și 70.

2. 2n+1 divide 3. 3 este număr prim, deci unicii divizori sunt 1 și 3. Deci ai 2n+1 = 1, n = 0 sau 2n+1 = 3, n = 1

3. Restul e de fiecare dată 3, deci dacă x e numărul care-l cauți, atunci x-3 e cel mai mic multipul comun al numerelor 7,12 și 17 . Cel mai mic multiplu comun e 7*12*17 pentru că 7, 12 și 17 sunt prime între ele (cel mai mare divizor comun e 1), deci x = 7*12*17+3 = 1431