Question

1) Produsul a două numere naturale este 450 iar c.m.m.m.c. este 90. Aflați numerele. 2) Produsul a două numere naturale este 576 și c.m.m.d.c. este 12. Aflați numerele. 3) Aflați perechile de numere naturale care au suma 40 și c.m.m.d.c. 5.

Answer 1

1)

( a , b ) · [a , b ] = a· b (      diviz · multiplu  =produsul numerelor )

a · b = 450

cmmmc  este  90   ⇒  a I 90  ;  b I 90

[ a , b ] = 90

( a ,b )  · 90 = 450          ⇒  divizorul ( a , b ) = 5

a = 5k

b = 5 p                 5k · 5p = 450         ; k·  p = 18     ; k , p∈ N

k  ={  1 ,   2 ,  3 , 6,    9 ,   18}

p  ={  18 , 9 , 6 ,  3,    2 ,     1}

          a= 5          a=10     a=15       a=30         a=45       a=90

          b=90         b= 45      b=30       b=15        b=10       b=5

solutiile sunt cele de mai sus dar alegem doar pe cele care indeplinesc conditiile exercitiului

a=5  si b = 90

a=10    b =45

a= 45   b =10

a=90    b = 5

2)  a=2x și b=2y. DAr produsul lor este 576

   inlocuim și obținem 2x × 2y=576

   4xy=576. Împărțim la 4 și obținem xy = 144

   singurele numere prime care înmulțire dau 144 sunt 1 și 144

   daca x = 1 ⇒    a = 2 ,     iar y = 144 ⇒b = 288

   daca x = 144 ⇒a = 288, iar y = 1 ⇒ b = 2

3)

a + b = 40

[ a , b ] = 5

a = 5x ; b  = 5y

5x + 5y = 40

5(x + y) = 40

x + y = 8 deci    

x = 1 => y = 7

a = 5x = 5 ;  b = 5y = 35

 x = 2 => y = 6

a = 5x = 10 ; b = 5y = 30

  x =3 => y = 5

a = 5x = 15  ; b = 5y = 25

   x = 4 => y = 4

a = 5x = 20 ; b = 5y = 20

Solutiile sunt  {5,35} si {15,25}