Question

1)Scrieti numarul natural 65 ca o suma de puteri ale lui 2.
2)Aflati toate valorile numarului natural n pentru care 15<2 la puterea n < 513.
 Solutie. Incadram atat pe 15 cat si pe 513 intre doua puteri consecutive ale lui 2:2 la  puterea a a 3 <15<2 la puterea 4 si 2 la puterea 9 <513 < 2 la puterea 10.Din aceste doua relatii urmeaza ca n este cuprins intre 4 si 9 .
 b)Aflati toate valorile numarului natural n pentru care 100<3 la puterea  n <1000............
 c)Aflati toate valorile numarului n pentru care 45 <7 la puterea n <2403.
 d) Aflati toate valorile numarului natural n, pentru care 26<5 la puterea n <15656.
3) Determinati ultima cifra a numerelor :
 a)99 la puterea 51
b) 11 la puterea 53 +15 la puterea 53+17 la puterea 53
 c) 313 la puterea 100 
d) 68 la puterea 86
e)89 la puterea 37 +88 la puterea 38 +87 la puterea 39

Answer 1

1)65=2⁰+2⁶
2)
  b)Aflati toate valorile numarului natural n pentru care 100<3 la puterea  n <1000...........
100<3⁵<3⁶<100
3⁴=81
3⁵=243
3⁶=729
3⁷=2187
=>n∈{4,5}
 c)Aflati toate valorile numarului n pentru care 45 <7 la puterea n <2403.
45<7²<7³<2403
7²=49
7³=343
7⁴=2401
7⁵=16807
=> n∈{2,3}
 d) Aflati toate valorile numarului natural n, pentru care 26<5 la puterea n <15656.
26<5³<5⁴<5⁵<5⁶<15656
5²=25
5³=125
5⁴=625
5⁵=3125
5⁶=15625
5⁷=78125
=> n∈{3,4,5,6}

3) Determinati ultima cifra a numerelor :
 a) stim ca ultima cifra a lui 9 la putere para este 1 si la putere impara este 9, deci ultima cifra a lui 99 la puterea 51 este 9
b) ultima cifra a lui 1 la orice putere este 1
ultima cifra a lui 15 la orice putere este 5
ultima cifra a lui 7 ridicat la putere o putem scrie in grupe de cate 4 : 7,9,3,1
53:4=13 rest 1 =>
ultima cifra a lui 17 la puterea 53 este 7
1+5+7=13
11 la puterea 53 +15 la puterea 53+17 la puterea 53 este 3

 c)
ultimacifra a lui 3 ridicat la putere o putem scrie in grupe de cate 4 : 3,9,7,1
100:4=25 rest 0, setul e implinit, deci
ultima cifra a lui  313 la puterea 100 este 1

d) ultimacifra a lui 8 ridicat la putere o putem scrie in grupe de cate 4 : 8,4,2,6
86:4=21 rest 2
68 la puterea 86 este 4

 e) stim ca ultima cifra a lui 9 la putere para este 1 si la putere impara este 9, deci ultima cifra a lui 89 la puterea 37 este 9

ultimacifra a lui 8 ridicat la putere o putem scrie in grupe de cate 4 : 8,4,2,6
38:4=9 rest 2, deci ultima cifra a lui 88 la puterea 38 est 4

ultima cifra a lui 7 ridicat la putere o putem scrie in grupe de cate 4 : 7,9,3,1
39:4=13 rest 3 =>  ultima cifra a lui 87 la puterea 39 este 3

9+4+3=16

68 la puterea 86 este 489 la puterea 37 +88 la puterea 38 +87 la puterea 39 este 6