Question

1) Se considera 2013 numere naturale nedivizibile cu 3. Aratati ca suma patratelor lor este divizibila cu 2013 .

Indicatie : Se demonstreazaca daca a= 3xn+1 sau a+3xn+2, atunci a^2=3xm+1

PS: x= ori( inmultire ) si ^ = la puterea

 

2) Demonstrati ca daca p este numar prim atunci ecuatia p^2+2^p=2015 nu are solutii .

Indicatie : Se demonstreaza ca daca p este  mai mare sau egal cu 3 este numar prim , atunci restul impartirii la 4 a numarului p^2 este 1 , iar restul impartirii la 4 a numarului 2^p este 0 .

Answer 1

1)Daca numerele nu sunt divizibile cu 13 sunt de forma:

Caz 1: a= 3n+1 => a²=9n²+6n+1 = 3(n²+2n) +1 = 3*m+1

sau Caz 2:  a=3n+2 =>  a²=9n²+12n+4 =9n²+12n+3+1=3(n²+4n+1) +1=3*p+1

Daca adunam cei 2013 numere gen a² , vom avea indiferent cate sunt in cazul 1, sau in cazul 2:
 Suma=3*( m+p+......)+1*2013 =3*(m+p+...)+3*671=3*[(m+p)+671]  este divizibila cu 3.


2) O prima ipoteza pe care o luam in calcul este ca p nu poate fi par, deoarece numerele pare nu sunt prime (mai putin 2, dar 2²+2²≠2015 deci iese din discutie)

Analizam fiecare termen :
p²
un patrat perfect , daca p nu este par , se termina in 1, 5 si 9.

2 la puterea p
2 la  orice putere impara se termina in 2 sau 8 .

Analizam ultima cifra a sumei: p²+2la puterea p
1+2=3
5+2=7
9+2=..1

1+8=9
5+8=..4
9+8=..7
 deci, nici o suma nu se termina in 5, asadar  nu poate fi egal cu 2015, deci :
 ecuatia p²+2la puterea p=2015 nu are solutii.