Question

1 . Stabiliti daca exista 12 numere naturale impare care , adunate , sa aiba suma 2001 .

2 . Avem 5 numere naturale nenule . Se stie ca suma primelor doua numere este un numar impar si suma ulrimelor trei numere este un numar par . Aratati ca produsul celor cinci numere este divizibil cu 4 . 

Answer 1

1. suma a 2 nr impare este un numar par
(2a+1)+(2a+3)+(2a+5)......+(2a+21)+(a+23)= 2001
12 x2a+(1+3+5+....23) = 2001
24a+24x6=2001
24a= 2001-144= 1857  1857 nu este multiplu de 24
deci nu exista 12 numere impare care adunate sa aiba suma de 2001

2)  nr. par = 2k
     nr.impar = 2k+1
suma a 2 nr =un nr impar    2k+2k+1
suma   a 3 numere =nr par  
caz 1  2k+2k+2k
caz 2  (2k+1)+(2k+1)+2k

produsul celor 5 numere
cazul 1  2k x (2k+1) x 2kx2kx2k =4x4xk³ x(2k+1)  divizil cu 4
cazul 2  2k x (2k+1) x (2k+1)x(2k+1)x2k =4k² x(2k+1)³   divizil cu 4