Question

1. Un drum de lungime abc (cu liniuta) km a fost străbătut astfel: în prima zi bc (cu liniuta) km, în a doua zi jumătate din rest, iar în a treia zi restul, bc (cu liniuat) + c la puterea a doua + 20 km, adică 200 km.Determinați
lungimea drumului (a, b, c sunt cifre în baza 10).

2. Determinați ultima cifră a sumei tuturor numerelor naturale, nenule, care împărțite la 50 dau restul egal cu pătratul câtului.

3. La Jocurile Olimpice de Iarnă – Sochi 2014, România participă cu o echipă de 25 de sportivi care vor concura la probele de biatlon, patinaj viteză şi schi fond. Să se determine câţi sportivi din echipa României participă la toate cele trei probe sportive,
dacă se stie că 5 sportivi nu participă nici la biatlon nici la patinaj viteză, 3 sportivi nu participă nici la patinaj viteză nici la schi fond, 4 sportivi nu participă nici la proba de schi fond nici la proba de biatlon şi câte 5 sportivi participă la cel puţin câte două din cele trei probe.

Answer 1

1. abc = bc+400 => a=4
bc+c(la a doua)+20=200 
bc + c(la a doua)=180
bc mai mic sau egal cu 99                    }
c(la a doua) mai mic sau egal decat 81} din aceste 2 inegalitati => b,c=9
=> lungimea drumului = 499

2. notam numarul cu a
a:50=x rest x la a doua
x la a doua = patrat perfect
x la a doua < 50
x la a doua ∈ { 0,1,4,9,16,25,36,49}
=> x∈{0,1,2,3,4,5,6,7}
a∈{5x0+0,5x1+1, ... , 5x7+49}
Suma(S)= 5x0+0 + .... + 5x7+49
Ultima cifra = UC
UC(S)=UC(1 la a doua + 2 la a doua + ... + 7 la a doua)
           =UC(1+4+9+6+5+6+9)=UC(0)

3.Se deduce că : 
5 sportivi participă numai la schi fond 
  3 sportivi participă numai la biatlon 
 4 sportivi participă numai la patina viteză 
⇒ 25-(5+3+4)=13 sportivi participă la două sau mai multe probe
Dacă x este numărul sportivilor care participă la toate cele trei probe⇒ 5-x participă la oricare două câte două probe. 
   ⇒x+5-x+5-x+5-x=13
  ⇒15-2x=13⇒x=1 
    1 sportiv participă la toate cele 3 probe