Question

1)Un nr rational nenul inmultit cu unul irational =>unul rational->Un exemplu pt asa ceva. 2)2,1000.. 2)2,101001... 3)-2.103103... 4)1,41441441..
5)0,101010.....6)0,101001001.... =>care dintre aceste nr este Rational si care este Irational(vr sa-mi explicati si cum ati facut,puteti scrie daca vreti chiar toata rezolvarea. 3) Formularea radicalilor compusi x=$\sqrt{17+12 \sqrt{2}+ \sqrt{17-12 \sqrt{2} } }$  4.x=$\sqrt{11-4 \sqrt{6+2 \sqrt{4-2 \sqrt{3} } } }$  y=$\sqrt{11+4 \sqrt{6+2 \sqrt{4+2 \sqrt{3} } } }$ 5.Determinati x si y care apartin de Q x+$\sqrt{3}$+y$\sqrt{7}$= $\frac{1}{3 \sqrt{2+2 \sqrt{7} } }$

Answer 1

2,1∈Q          ; 2,1011001   ∈ R        ; -2,103..∈Q  1,41... ∈R 
0,10..∈Q      0,101100,...∈R 
x₁ = 6  ∈ Q 
pentru  ca     12√2 = 2·3·2√2            si            17 = 9 + 8  = 3² + (2√2)² 
17 - 12√2 = 3² - 2 · 3 ·2√2 + (2√2) ² = binom = (  3 -  2√2)²
si 17 + 12√2 = 3²  + 2·3·2√2 + (2√2) ² = binom = ( 3 +2√2)² 
  x ₁ =  √(3 +2√2)²   + √( 3 - 2√2)²= 3 + 2√2 + 3 -2√2 =  6 ∈ Q 

x₂  = 
4 -2√3 =  3 +1  - 2√3 = √3²  - 2√3 + 1² =  binom = ( √3 -1) ²
x₂  = √11 - 4√6+ 2·(√3 -1)  =  √11 - 4√(6 +2√3 -2)  = √11 -4√( 4 +2√3) = 
  rad. lung    rad. lung
alt binom 4 + 2√3 = 3 + 2√3 +1 = √3² +2√3 +1² = ( √3 +1) ²
              = √11-4·(√3 +1) = √11-4√3 -4 = √7 -4√3 = 
alt binom 7 - 4√3 = 4 +3 -4√3 = 2² - 2·2√3 + √3² = ( 2 -√3)²
x₂  = √(2- √3)² = 2  - √3 ∈ R 

pentru  y : 
4 +2√3 =3 + 2√3 + 1 = √3 + 2·√3·1 + 1² =  binom =( √3 +1)² 
y = √11 +   4√6-2·(√3+1) =  √11 + 4√(6 -2√3-2) =
rad. lund     rad. lung
y= √11+4√(4-2√3)
4 -2√3 = 3  -2√3 + 1 = √3² - 2√3 + 1² =  binom =(√3 -1)²
           y = √11+4·(√3 -1) =√11+4√3-4 =√7 +4√3 
alt binom  7 +4√3= 4 + 3 + 4√3 = 2² + 2·2√3 + √3² = ( 2+√3)²
y= √( 2 +√3)² = 2 + √3 ∈ R \Q 
x·y = ( 2 - √3) ·(2 + √3) = 2² - √3² = 4 - 3 = 1 ∈ Q

x√2 + y√7 = ( 3√2  - 2√7)  / ( 3√2 +2√7) ·( 3√2 -2√7) = 
                 = ( 3√2 - 2√7) / [ (3√2)²  - (2√7)² ] = 
                  = ( 3√2 - 2√7) / ( -10 ) 
                    = -3√2 /10  + 2√7 /10 
daca    x√2 = - 3√2 /10                   x = - 3 /10 
           y√7 = 2√7 /10                     y = 2/10