Question

102. Intr-un triunghi ABC, măsura unghiului A este de două ori mai mare decît măsura unghiului B. Bisectoarea unghiului A intersectează pe BC în D, iar bisectoarea unghiului ADC intersectează pe AC în E. a) Să se arate că DE||AB. b) Ce fel de triunghiuri sînt ABD, ADE ?​

Answer 1

 Salutare!

Desenul este schițat mai jos.

Rezolvare:

a) notez x ca fiind măsura ∡B; se folosește desenul

aflu ∡ADB = 180° - 2x,

apoi aflu ∡ADC = 2x

căci 180° = 180° - 2x + 2x;

DE ⊂ bis. ∡ADC

⇒∡CDE = x = ∡ADE

dar ∡ABC = ∡B = x și D ∈ BC

∡-urile ABC și EDC corespondente

⇒ AB||DE

b) ∡BAD = ∡ABD = x = ∡ADE = ∡DAE

     ⇒ΔABD isoscel

     ⇒ΔADE isoscel

 Cu drag!

Answer 2

a)

$\it Not\breve am\ m(\hat B)=u\ \Rightarrow m(\hat A)=2u\\ \\ \[[AD-bisectoare\ \Rightarrow m(\widehat{DAB}) =m(\widehat{DAC}) =u\\ \\ \widehat{ADC} \ -\ unghi\ exterior\ pentru\ \Delta ABD \Rightarrow m(\widehat{ADC}) =u+u=2u$

$\it \[[ DE\ -\ bisectoare \Rightarrow\ m(\widehat{EDA})=m(\widehat{EDC}) =u\\ \\ u=m(\widehat{EDA}) =m(\widehat{DAB}) \ -\ alterne\ interne\ pentru\ secanta\ AD \Rightarrow DE||AB$

b)

$\it m(\widehat{DAB}) =m(\widehat{DBA})=u \Rightarrow \Delta ABD\ -\ isoscel ,\ DA=DB$

$\it m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{EDA}) =u \Rightarrow \Delat ADE\ -\ isoscel,\ \ EA=ED$