Question

115. Lungimea laturii unui triunghi echilateral este egală cu 10 cm. Să se calculeze lun- gimea razei unui cerc a cărui arie este a patra parte din aria cercului în care se poate înscrie triunghiul dat.​

Answer 1

Răspuns:

R₁=5√3/3 cm.

Explicație pas cu pas:

115. Lungimea laturii unui triunghi echilateral este egală cu 10 cm. Să se calculeze lungimea razei unui cerc a cărui arie este a patra parte din aria cercului în care se poate înscrie triunghiul dat.​

l=10 cm. Dar pentru triunghiul echilateral inscris in cerc este formula l=R√3  Egalam cele 2 relatii.  ⇒10 =R√3  ⇒R=10:√3=10√3/3  (am rationalizat numitorul)    R=10√3/3 cm.  

Aria cercului in care se poate inscrie triunghiul dat= 3R²√3/4= 3·(10√3/3)²·√3/4= 3·100·3/9·√3/4=100·√3/4=25√3 cm²  A=25√3 cm²

A patra parte din aria cercului în care se poate înscrie triunghiul dat se obtine impartind aria obtinuta la 4.⇒A₁=A/4=25√3/4 cm²  A₁=25√3/4 cm²

Avem aria cercului nou, deci se poate obtine raza cercului nou.  ⇒

A₁=3R₁²√3/4=25√3/4 cm²   ⇒3R₁²=25  ⇒R₁²=25/3  ⇒R₁=√25/√3=5√3/3 (am rationalizat numitorul) ⇒

Lungimea razei unui cerc a cărui arie este 1/4 din aria cercului în care se poate înscrie triunghiul dat: R₁=5√3/3 cm.

Answer 2

Raza cercului circumscris triunghiului echilateral este:

$\it R=\dfrac{\ell \sqrt3}{3}=\dfrac{10\sqrt3}{3}\ cm$

Aria cercului circumscris triunghiului echilateral este:

$\it \mathcal{A}=\pi R^2=\pi\cdot\Big(\dfrac{10\sqrt3}{3}\Big)^2=\dfrac{\ \ 100\cdot3^{(3}}{9}\pi=\dfrac{100}{3}\pi\ cm^2$

A patra parte din această arie este :

$\it \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\ 100^{(4}}{3}\pi=\dfrac{25}{3}\pi\ cm^2$

Dacă notăm r = raza cercului cerut de enun, atunci vom avea:

$\it \pi r^2=\dfrac{25}{3}\pi\ \Big|_{:\pi} \Rightarrow r^2=\dfrac{25}{3} \Rightarrow r=\sqrt{\dfrac{25}{3}}=\dfrac{^{\sqrt3)}5}{\ \ \sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$