Question

116. Se considera un triunghi dreptunghic ABC cu C=30 și să fie O centru cercului circumscris acestui triunghi. Cateta AB este latura unui triunghi echilateral ABD, înscris în cercul O₁, secant cu cercul O în A și B. Cateta AC este latura pătratului înscris în cercul 0₂ secant cu cercul O în A şi C. Să se demonstreze că înălţimea triunghiului echilateral ABD are lungimea egală cu apotema pătratului din figură, iar latura pătratului este congruentă cu latura triunghiului echilateral înscris în cercul O​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ΔABC dreptunghic, cu ∢C = 30°

O este centru cercului circumscris acestui triunghi

CO = OB = r (raza cercului)

=> BC este diametru, BC = 2r

AB = ½•BC => AB = r (cateta opusă unghiului de 30°)

T.P.: AC² = BC² - AB² = 4r² - r² = 3r² => AC = r√3

înălțimea triunghiului echilateral:

$h_{\Delta} = \frac{l \sqrt{3} }{2} = \frac{AB \sqrt{3} }{2} = \frac{r \sqrt{3} }{2}$

apotema pătratului:

$a_{p} = \frac{l}{2} = \frac{AC}{2} = \frac{r \sqrt{3} }{2}$

$\implies \boxed {\red {\bf h_{\Delta} = a_{p}}}$

q.e.d.