Question

12 și 13, vă rog!!
......................​

Answer 1

Răspuns:

12. f este strict crescătoare pe fiecare din intervalele $(-\infty,1]$ și $(1,\infty)$, deci este injectivă.

Fie $x_1\le 1, \ x_2 > 1\Rightarrow x_1\ne x_2$.

$f\left(x_1\right)\le 1, \ f\left(x_2\right) > 2\Rightarrow f\left(x_1\right) < f\left(x_2\rihght)\Rightarrow f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$

deci f este injectivă. Rezultă că funcția este injectivă pe $\mathbb{R}$.

$f\left(\mathbb{R}\right)=f\left(\left(-\infty, 1\right]\cup\left(1,\infty\right)\right)=f\left(\left(-\infty,1 \right]\right)\cup f\left(\left(1,\infty\right)\right)=\\=\left(-\infty,1\right]\cup\left(2,\infty\right)$

Deci f nu este surjectivă.

13. $f(0)=1, \ f(2)=1$, deci f nu este injectivă.

$f(\mathbb{R})=f((-\infty, 1)\cup([1,\infty))=f((-\infty, 1])\cup f((1,\infty))=(-\infty, 3]\cup(0,\infty)=\mathbb{R}$

deci funcția este surjectivă.

Explicație pas cu pas: