Question

137. Fiind dat un triunghi echilateral şi un punct în interiorul triunghiului să se arate că suma distanţelor acestui punct la laturi este constantă ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ΔABC triunghi echilateral => AB ≡ BC ≡ AC = a

H un punct în interiorul triunghiului

notăm distanțele de la punctul H la laturile triunghiului:

$h_{A};h_{B};h_{C}$

$Aria_{(ABC)} = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3}}{4}$

$Aria_{(ABC)} = Aria_{(AHB)} + Aria_{(BHC)} + Aria_{(AHC)}$

→

$\frac{h_{C}\cdot AB}{2} + \frac{h_{A}\cdot BC}{2} + \frac{h_{B}\cdot AC}{2} = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3}}{4}$

→

$\frac{h_{C}\cdot a + h_{A}\cdot a + h_{B}\cdot a}{2} = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3}}{4}$

$a(h_{A} + h_{B} + h_{C}) = \frac{2 {a}^{2} \sqrt{3}}{4} \\ = > h_{A} + h_{B} + h_{C} = \frac{a \sqrt{3} }{2}$

q.e.d.