Question

18. Termenul care îl conţine pe x² în dezvoltarea √x+
2
X
10
este:

Answer 1

Răspuns:

Teremenul al treilea din dezvoltare îl conține pe x²

Explicație pas cu pas:

Problema se rezolvă cu ajutorul binomului lui Newton.

Formula termenului general pentru dezvoltarea (a+b)ⁿ este

$T_{k+1} = C_{n} ^{k}* a^{n-k} *b^{k}$

În cazul nostru:

$(\sqrt{x} + \frac{1}{x} )^{10} = (x^{\frac{1}{2} } + x^{-1} )^{10}$

$T_{k+1} = C^{k} _{n} * (x^{\frac{1}{2} } )^{10-k} * (x^{-1} )^{k}$

Conform enunțului rezultă:

$(x^{\frac{1}{2} } )^{10-k} * (x^{-1} )^{k} = x^{2}$

$x^{\frac{10-k}{2} } * x^{-k} = x^{2}$

De unde

$\frac{10-k}{2} - k = 2$    

$\frac{10-k-2k}{2} = 2$

10 -3k = 4  ⇒  3k = 6  ⇒ k = 2

Așadar, termenul al 3-lea îl conține pe x²