Question

2. În figura de mai jos este reprezentat un triunghi ABC, unde AB = 18 cm, AC = 24 cm, m(BAC) = 90°, punctul P aparţine laturii AC, astfel încât AP=18 cm, iar AM este bisectoarea unghiului BAC, cu M e (BC) şi BP int AM = {N}. a) Calculați aria triunghiului ABC. b) Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABP, calculați distanţa de la punctul G la latura AP. G N P c) Dacă PG AB=(Q), determinați B lungimea segmentului NQ. ​

Answer 1

a)

Aria unui triunghi dreptunghic:

$A=\frac{cateta_1\times cateta_2}{2}$

$A_{ABC}=\frac{AB\times AC}{2} =\frac{18\times 24}{2} =216\ cm^2$

b)

AP=18 cm

AP=AB⇒ ΔBAP dreptunghic isoscel , AM bisectoare⇒ AN este mediana, N mijlocul lui BP

AN este si inaltime

• Aflam BP din Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

BP²=AB²+AP²

BP²=324+324

BP=18√2 cm

• AN este mediana in ΔBAP (mediana intr-un triunghi dreptunghic este egala cu jumatate din ipotenuza)

AN=18√2:2=9√2 cm

AG se afla la doua treimi de varf, adica:

$AG=\frac{2}{3}\times 9\sqrt{2} =6\sqrt{2}\ cm$

AM este bisectoarea ∡BAC⇒ ∡MAC=45°

Fie GE⊥AC, ∡GAE=45°, ∡GEA=90°⇒ ΔGAE dreptunghic isoscel⇒ GE=EA=x

Aplicam Pitagora si obtinem:

GA²=AE²+GE²

72=x²+x²

x²=36

x=6 cm

GE=6 cm=d(G,AP)

c)

Am stabilit la punctul b ca AN este mediana, adica N este mijlocul lui BP (1)

G este centrul de greutate si se afla la intersectia medianelor, adica PQ este mediana ⇒ Q mijlocul lui AB (2)

Din (1) si (2) ⇒ NQ este linie mijlocie in ΔBAP, adica NQ este jumatate din AP

NQ=18:2=9 cm