2. Pe cercul de centru O şi rază R = 6 cm se iau
punctele A, B, C şi D în această ordine, în sensul
mişcării acelor de ceasornic, astfel încât m( AB ) =
= 120°, m(BC) = 90°, iar CD = 6 cm.
a) Aflaţi natura patrulaterului ABCD.
b) Calculaţi perimetrul patrulaterului ABCD.
c) Calculați aria patrulaterului ABCD. 16X9 ob sinola
Dau coroana!!!+15 p
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) m(∡AOB)=120°, m(∡BOC)=90° (unghiul la centru se măsoară cu arcul pe care se sprijină).
Dacă CD=6cm=R=OC=OD, ⇒ΔCOD echilteral, ⇒m(∡COD)=60°=m(arcCD).
Arunci, m(arcAD)=360°-(m(arcAB)+m(arcBC)+m(arcCD))=360°-(120°+90°+60°)=360°-270°=90°, ⇒m(arcBC)=m(arcAD), ⇒coardele AB║CD, deci ABCD este trapez. Dacă m(arcBC)=m(arcAD), ⇒ BC=AD. Atunci, ABCD este trapez isoscel.
b) P(ABCD)=AB+BC+CD+AD. BC=AD. ΔBOC dreptunghic în O, deci BC=R√2=6√2cm=AD. Se dă CD=6cm. În ΔAOB, isoscel cu baza AB, OE este mediană, înălțime și bisectoare, ⇒∡AOE=60°, ⇒∡OAE=30°. Atunci, OE=(1/2)·AO=3cm. Deci, după Pitagora, AE²=AO²-OE²=6²-3²=27=9·3, ⇒AE=3√3cm, atunci AB=2·AE=6√3cm.
Deci, P(ABCD)=6√3+6√2+6+6√2=6·(√3+√2+1+√2)=6·(1+√3+2√2)cm.
c) Din ΔCOD echilateral, OF este mediană și înălțime, deci OF²=OC²-CF²=6²-3²=9·3, ⇒OF=3√3cm. Deoarece AB║CD, ⇒O,E,F puncte coliniare, ⇒EF=EO+OF=3+3√3 este îbălțimea trapezului ABCD. Atunci Aria(ABCD)=EF·(AB+CD)/2=(3+3√3)·(6√3+6):2=3·(1+√3)·6·(√3+1):2=9·(√3+1)²=9·((√3)²+2·√3·1+1²)= 9·(3+2√3+1)=9·(4+2√3)=9·2·(2+√3)=18·(2+√3)cm².
