Question

2. Se consideră expresia E(x) = (3x - 1)² - (x + 2)(x - 2) - 2(2x - 3)² - 5(2x - 3), unde x este un număr real. a) Arată că E(x) = 8x + 2, pentru orice număr real x. b) Determină numerele întregi n, pentru care E(n)-5-6n/n+3 apartine Z​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$E(x) = (3x - 1)^{2} - (x + 2)(x - 2) - 2(2x - 3)^{2} - 5(2x - 3) \\ = 9 {x}^{2} - 6x + 1 - ({x}^{2} - 4) - 2(4 {x}^{2} - 12x + 9) - 10x + 15 \\ = 9 {x}^{2} - 6x + 1 - {x}^{2} + 4 - 8 {x}^{2} + 24x - 18 - 10x + 15 \\ = 9 {x}^{2} - 9 {x}^{2} + 24x - 16x + 20 - 18 = 8x + 2$

b)

n + 3 ≠ 0 => n ≠ -3

$\frac{E(n) - 5 - 6n}{n + 3} = \frac{8n + 2 - 5 - 6n}{n + 3} = \frac{2n - 3}{n + 3} \\ = \frac{2n + 6 - 9}{n + 3} = \frac{2(n + 3) - 9}{n + 3} = 2 - \frac{9}{n + 3} \in \mathbb{Z}$

n + 3 este divizor întreg al lui 9

$(n + 3) \in \{-9; -3; -1 ; 1; 3; 9\}$

$=> n \in \{-12; -6; -4 ; - 2; 0; 6\}$