Question

37. a) Arătaţi că 1+2+3+...+ n = [n•(n+1)]: 2, pentru orice număr natural n.
b) Calculaţi suma S = 1+2+3+...+100. c) c)Calculați suma S=1+3+5+...+99.
d) Arătaţi că 1 + 3+5+...+(2n-1)= n², pentru orice număr natural nenul.
VA ROG MULT!!! VA DAU COROANA​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) 1+2+3+...+ n = [n•(n+1)]/2, pentru orice număr natural n.

*Metoda inducţiei matematice*

1° n=1, [n•(n+1)]/2 =:S(n)

S(1)= 1·2/2 = 1

2°

Presupunem că S(n) este adevărată pentru număr natural n.

3°

Demonstrăm că dacă S(n) este adevărată, atunci S(n+1) este adevărată:

1+2+...n+n+1 = S(n)+(n+1)=(2°)= n•(n+1)/2 +(n+1) = n•(n+1)/2 +2(n+1)/2=(n+1)(n+2)/2=S(n+1)

b) Calculaţi suma S = 1+2+3+...+100.

S(100)=100*101/2=5050

c)Calculați suma S=1+3+5+...+99.

S(99)=S(100)-100=4950

d) Arătaţi că 1 + 3+5+...+(2n-1)= n², pentru orice număr natural nenul

1° n²=:P(n)

n=1, P(1)= 1²=1

2°

Presupunem că P(n) este adevărată

3° pentru n+1:

1+3+..+(2n-1)+(2n+1) = P(n) +(2n+1) =(2°) =n²+2n+1=(n+1)²=P(n+1)

Answer 2

Explicație pas cu pas:

a)

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n

S = n + (n-1) + (n-2)... + 3 + 2 + 1

adunăm:

2S = (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) +...+ (n-2+3) + (n-1+2) + (n+1)

$2S = n \cdot (n + 1) \implies \bf S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

b)

$S = 1+2+3+...+100 = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \\ = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = \bf 5050$

c) suma are (99 - 1):2 + 1 = 50 termeni

$S=1+3+5+...+99 = 1 + (1 + 2) + (1 + 4) + ... + (1 + 98) = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{50} + 2 + 4 + ... + 98 = 50 + 2 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + 49) = 50 + 2 \cdot \frac{49 \cdot 50}{2} = 50 + 49 \cdot 50 = 50 \cdot (1 + 49) = 50 \cdot 50 = {50}^{2} = \bf 2500$

d) suma are: (2n - 1 - 1):2+1 = n-1+1 = n termeni

$1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = 1 + (1 + 2) + (1 + 4) + ... + (1 + 2(n - 1)) = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{n} + 2 + 4 + ... + 2(n - 1) = n + 2 \cdot (1 + 2 + ... + (n - 1)) = n + 2 \cdot \frac{(n - 1)(n - 1 + 1)}{2} = n + (n - 1) \cdot n = n \cdot (1 + n - 1) = n \cdot n = \bf {n}^{2}$

q.e.d.