Question

: 5. Pe mulțimea numerelor întregi Z consideră legea de compoziție ,,0" definită prin xo y = xy + 2x + 2y + 2. Numărul elementelor simetrizabile este a) 2 b) 0 c) 1 d) 3​

Answer 1

Răspuns:

a) 2

Explicație pas cu pas:

arati (sau ti se cere la inceput, ca AJUTOR, dar nu ne-ai spus tu)ca

x°y=(x+2)(y+2)-2

• se verifica usor ca este comutativa

• apoi aflam e

x°e=(x+2) (e+2)-2=x, ∀x∈Z

(x+2)(e+2) =(x+2)

(x+2)(e+2-1)=0

e+1=0

• e=-1

x°x'=-1

(x+2)* (x'+2)-2=-1

(x+2) (x'+2)=1

x'+2=1/(x+2)

x'=1/(x+2)-2

cum -2∈Z

ramane ca

1/(x+2)∈Z

1, care are 2 divizopri in Z , pe 1 si pe -1

x+2=1........x=-1

x+2=-1.......x=-3

• nici una din ele nu este -2 pt care numitorul x+2 nu ar avea senms

deci bune ambele

a) 2

GREEEEEA!

Answer 2

Răspuns:

a) 2

Explicație pas cu pas:

xoy = xy + 2x + 2y + 2

• se verifică dacă legea "o" admite element neutru:

xoe = eox = x

=> xe + 2x + 2e + 2 = ex + 2e + 2x + 2 = x

x(e + 2) + 2(e + 1) = x

=>

• e + 2 = 1 => e = -1

și

• 2(e + 1) = 0 => e = -1

=> legea "o" admite element neutru e = -1

• se verifică dacă legea "o" admite elemente simetrizabile:

xox' = x'ox = e

=> xx' + 2x + 2x' + 2 = x'x + 2x' + 2x + 2 = -1

=> x'(x + 2) = -2x - 3

a) x ≠ -2

$= > x' = \frac{-2x - 3}{x + 2} = \frac{-2x - 4 + 1}{x + 2} \\ => x' = - 2 + \frac{1}{x + 2} ∈ Z$

(x + 2) ∈ {-1; 1} => x ∈ {-3; -1}

b) x = 2 => nu admite elemente simetrizabile

=> legea "o" admite 2 elemente simetrizabile

U(Z) = {-3; -1}