Question

6. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC, cu *BAC = 90°, AD 1 BC, D = BC, BD = 6 cm, BC = 24 cm, iar punctul E este mijlocul catetei AC. e a) Arată că aria patrulaterului ABDE este egală cu 45√3 cm². b) Dacă AB DE= {F}, demonstrează că AF = DC.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

BD = 6 cm

DC = BC - BD = 24 - 6 = 18

=> DC = 18 cm

teorema înălțimii:

AD² = BD × DC = 6 × 18 = 108

=> AD = 6√3 cm

Aria (ABDE) = Aria (ΔABC) - Aria (ΔDEC)

E este mijlocul segmentului AC => DE este mediană în triunghiul ADC => Aria (ΔDEC) = ½×Aria (ΔADC) = ½×½×AD×DC = ¼×6√3×18 = 27√3 cm²

Aria (ΔABC) = ½×AD×BC = ½×6√3×24 = 72√3 cm²

Aria (ABDE) = Aria (ΔABC) - Aria (ΔEDC) = 72√3 - 27√3 = 45√3 cm²

b)

T.P.: în ΔADB: AB² = AD² + BD² = (6√3)² + 6² = 144 = 12² => AB = 12 cm

AB = ½×BC => AB este cateta opusă unghiului de 30° => ∢ACB = 30°

=> AD = ½×AC => AD ≡ AE

DE este mediană în triunghiul dreptunghic ADC => DE ≡ AE ≡ EC

=> AD ≡ AE ≡ DE => ΔADE este echilateral

∢DAE = ∢DEA = 60°

=> ΔAFE ≡ ΔDCA (cazul C.U.)

=> AF ≡ DC

q.e.d.