Question

78. In interiorul unui hexagon regulat ABCDEF (cu toate laturile şi unghiurile congruente) se unesc vîrfurile din două în două. 1) Să se arate că AAEC este echilateral.
2) sa se calculeze unghiurile triunghiului ABF
3) sa se determine un punct în interiorul triunghiului BFD care împarte hexagonal în 6 triunghiuri cingruente
4) sa se arate că aria Tr. BFD egal aria ABCDEF supra 2​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

1) ABCDEF hexagon regulat

AB ≡ BC ≡ CD ≡ DE ≡ EF ≡ AF

și ∢A ≡ ∢B ≡ ∢C ≡ ∢D ≡ ∢E ≡ ∢F = 120°

ΔABC ≡ ΔCDE ≡ ΔEFA (L.U.L.)

=> AC ≡ CE ≡ AE

=> ΔAEC este echilateral

2) ΔABF este isoscel, cu m(∢BAF) = 120°

=> m(∢ABF) = m(∢AFB) = 30°

3) centrul cercului circumscris, împreună cu vârfurile, împarte hexagonul în 6 triunghiuri congruente

centrul cercului circumscris hexagonului coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului echilateral BFD și coincide cu centrul de greutate al triunghiului

4) teorema cosinusului în ΔABF:

BF² = AB² + AF² - 2•AB•AF•cos(BAF) = 2AB² - 2AB²cos(120°) = 2AB² - 2AB²•(-cos60°) = 2AB² - 2AB²•(-½) = 2AB² + AB² = 3AB²

=> BF = AB√3

$Aria{(BDF)} = \frac{{BF}^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{3{AB}^{2} \sqrt{3} }{4}$

$Aria{(ABCDEF)} = \frac{3{AB}^{2} \sqrt{3} }{2}$

→

$Aria{(BDF)} = \frac{Aria{(ABCDEF)}}{2}$