Question

a este real diferit de 0
n este natural diferit de 0

Determinati-l pe n știind că :

z=(1+ai)(1+ai²)(1+ai³)•...•(1+ai^n) este real
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

avand in vedere ca puterile lui i sunt ciclice si se repeta din 4 in 4 (i, -1, -i, 1),

atunci factorii lui z ( adica parantezele care se inmultesc) se repeta din 4 in 4, fiind:

(1 + ai)(1 - a)(1 - ai)(1 + a), apoi se repeta.

examinam cela 4 cazuri in care n se poate afla fata de 4

1.

n = 4*x, cu x numar natural nenul

z = (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ) = [(1 + ai)(1 -a)(1 - ai)(1 + a)]ˣ =

= [(1 + ai)(1 - ai)(1 -a)(1 + a)]ˣ = [(1 - a²i²)(1 -a²)]ˣ = [(1 + a²)(1 -a²)]ˣ = (1 - a⁴)ˣ

care este numar real

2.

n = 4*x + 1, x numar natural nenul

z = (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ)•(1 + ai⁴ˣ+¹) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)  

care nu este numar real, deoarece a este diferit de 0

3.

n = 4*x + 2, x numar natural nenul

z = (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ)•(1 + ai⁴ˣ+¹) •(1 + ai⁴ˣ⁺²) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)•(1 - a)

care nu este numar real, deoarece a este diferit de 0

4.

n = 4*x + 3, x numar natural nenul

z =  (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ)•(1 + ai⁴ˣ+¹) •(1 + ai⁴ˣ⁺²)•(1 + ai⁴ˣ⁺³) =(1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)•(1 - a)•(1 - ai) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)•(1 - ai)•(1 - a) =  (1 - a⁴)ˣ•(1 - a²i²)•(1 - a) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + a²)•(1 - a)  care este numar real

Asadar, n = 4x sau n = 4x+3 , cu x ∈ N