Admitere UPT AL 276 , grup
Răspunsuri la întrebare
Salut,
Grupul G din enunț este grupul multiplicativ al numerelor reale, acest grup nu vine cu nicio restricție.
Dacă relația din enunț este valabilă pentru orice x și y din G, atunci ea este valabiă și pentru x = y. Folosim asta în relația din enunț și avem că:
x·f(x²) = f(x⁻¹·x·x·f(x²)) ⇔ x·f(x²) = f(x·f(x²)) (1)
Notăm cu u = x·f(x²), deci relația (1) devine u = f(u).
Cum notația este arbitrară, în loc de u putem scrie x, deci f(x) = x (2).
Aceasta este cea mai simplă funcție de gradul I, care prin natura ei este atât injectivă (pentru că este monotonă), cât și surjectivă (mulțimea valorilor funcției coincide cu codomeniul G, care poate fi "extins" la mulțimea R a numerelor reale, prin natura multiplicativă a grupului G).
În aceste condiții, funcția este bijectivă și ținând cont de expresia (2) de mai sus, singurul răspuns corect nu poate fi decât c, funcția este surjectivă (l-am ales prin eliminarea afirmațiilor false).
Este interesant de remarcat că în culegerea de probleme din 2019, problema este marcată cu steluță (grad ridicat de dificultate), iar în culegerea din 2020, steluța a dispărut, adică la același enunț nemodificat față de 2019, problema a devenit "brusc" accesibilă :-))).
Green eyes.
P.S. Soluția de mai sus este găsită de domnul profesor care are numele de utilizator MatePentruToți, am publicat-o cu acordul scris al domniei-sale. Îi mulțumesc și pe această cale.