Question

Aflati numerele naturale abc cu proprietatile:
abc = a*bc + 100
si
abc = ab + ba + ca + cb + ac + bc​

Answer 1

abc = ab + ba + ca + cb + ac + bc

abc = 22a+ 22b +22c

abc = a*bc +100

din ultimele 2 relații rezultă că :

a*bc+100= 22a+22b+22c

împărțim relația la a

bc+100=22+22b+22c

scădem 22 din relația aceasta :

bc+78=22b+22c

scădem din relație 10b și un c (deoarece asta avem în partea stângă) și ne rămâne :

78= 12b+21c

simplificăm relația cu 3 :

26=4b+7c

acum încercăm să vedem ce pot fi fiecare :

cazul 1 : c=1 => 26=4b+7 /-7

19=4b(nu convine, 19 nu se împarte la 4)

cazul 2 : c=2 => 26=4b+14 /-14

12=4b /:4

3=b(convine)

c=2

b=3

mai trebuie să aflăm a

a32 este numărul nostru acum, deci scriem iar prima relație, cea originală :

abc = ab+ba+ca+cb+ac+bc

înlocuim b cu 3 și c cu 2 :

a32 = a3+3a+2a+23+a2+32

a32 = 22a + 110

a nu poate fi 0 (condiție)

scriem a doua relație în original :

abc=a*bc+100

înlocuim b cu 3 și c cu 2 :

a32= a*32+100

a32=32a+100

dar relația cealaltă spune că :

a32= 22a+110

deci :

22a+110= 32a+100

scădem 20a din toată relația :

2a+110=12a+100

scădem 100 din toată relația :

2a+10=12a

scădem 2a din toată relația :

10=10a

înpărțim relația la 10 și ne rămâne că :

1=a

Răspuns : abc=132

a=1

b=3

c=2