Question

Aflati x din: 2•(3^x+1+3^x+2+...+3^x+100)=3^101*(3^100-1) ^ inseamna ridicat la puterea ... mam gandit sa inmultesc toata ecuatia cu 2 sau 3 dar fara folos. dar cred totusi ca x=101

Answer 1

Notez membrul stang cu S si cu obsrvatia urmatoare
$3^{x+1}+2\cdot3^{x+1}=3\cdot3^{x+1}=3^{x+2}$, apoi
$3^{x+2}+2\cdot3^{x+2}=3\cdot3^{x+2}=3^{x+3}$ si asa mai departe, se obtine (dupa ce adun in fata pe $3^{x+1}$, pe care il scad la sfarsit):

$S=2\cdot3^{x+1}+2\cdot3^{x+2}+...2\cdot3^{x+100}=$
$=3^{x+101}-3^x\Rightarrow3^x(3^{101}-1)=3^{101}(3^{100}-1)\Rightarrow x=101.$

Observatie: Cred ca in enunt, este gresita puterea lui 3 din paranteza din dreapta, ar trebui sa fie 101. Doar in acest caz se obtine x=101.

Mai sus am spus ca scad $3^{x+1}$ si am scazut $3^x$.
Refac finalul:
$=3^{x+101}-3^{x+1}\Rightarrow3^{x+1}(3^{100}-1)=3^{101}(3^{100}-1)\Rightarrow[tex]\Rightarrow x+1=101\Rightarrow x=100.$[/tex]

Answer 2

[tex]2*(3^{x+1}+3^{x+2}+...+3^{x+100}) = 3^{101}(3^{100}-1)\\\\ S = 3^{x+1}+3^{x+2}+...+3^{x+100}\\\\ S = 3^{x+1} * \frac{1-3^{100}}{1-3} \\\\ S = 3^{x+1} * \frac{1-3^{100}}{-2} \\\\ 2*S = 3^{x+1}*(3^{100}-1) = 3^{101}(3^{100}-1)\\\\ 3^{x+1} = 3^{101}\\\\ x = 100[/tex]