Question

Ajutati-ma cu problema asta.Se considera functia F:(0,+infinit ) ,f de x =x la a patra /4 - ln x
a.)Sa se calculeze f'(x),x apartie (0,+infinit)
b.)sa se determine punctul de extrem al functiei f
c.)Sa se demonstreze ca ln radical din x <= x la puterea a doua - 1 /4

Answer 1

a)4x³/4-1/x=x³-1/x=(x^4-1)/x

b) cum numitorul x>0, nu se anuleaza si este pozitiv, discutam numai numaratorul
(x²-1)*(x² +1)= (x-1)*(x+1)*(x²+1)...semnul il schimba numai primul factor, ceilalti fiind pozitivi ptx>0
si anume x-1<0 pt x<1, x-1=0, pt x=1 si x-1>0, pt x>1
deci derivata se anuleaza la x=1 , are semn negativ inainte  (functia scade) si pozitiv dupa (functia crest )
sadar (1, f(1))=(1, 1/4 +ln1)=(1,1/4) este un  extrem si anume un  minim

c) din b deducem ca
x^4-lnx>cel mult egal1/4
sau
x^4+1/4>cel mult egal lnx
 fie functia
g(x)=√x, crescatoare pe(0,infinit)

avem
x^4 crescatoare
x^4+1/4 crescatoare
lnx crescatoare
 compunand pe
X^4 +1/4 si, respectiv,  lnx , succesiv fiecare cu g(x)
rezulta
x²+1/4>lnx
sau lnx<x²-1/4