Question

Ajutați-mă vă rog la problema 73!!!

Answer 1

   
73)
a)
Daca triunghiul echilateral este circumscris cercului, atunci cercul este inscris int triunghiul echilateral.
Centrul cercului inscris in triunghi este la intersectia bisectoarelor, dar in triunghiul echilateral bisectoarele sunt si inaltimi si mediatoare si mediane.
Rezulta ca raza cercului este egala apotema triunghiului echilateral care este egala cu o treime din inaltime. (Asta este valabil doar pentru triunghiul echilateral. Nu poate fi aplicata la triunghiul isoscel sau la altfel de triunghi.)

Rezolvare:

[tex]\displaystyle\\ R = \frac{1}{3}\times \frac{L \sqrt{3} }{2} \\\\ R = \frac{L \sqrt{3} }{6}\\\\ L_{\Delta} = \frac{~~R~~}{\dfrac{ \sqrt{3} }{6}}= \frac{6R}{ \sqrt{3}} = \frac{6R\sqrt{3}}{ 3}= 2R\sqrt{3} = 2 \times 12 \times \sqrt{3} = \boxed{\bf 24\sqrt{3}~cm}[/tex]

b)
Patrulaterul regulat este patratul.
Diagonala patratului inscris in cerc este egala cu diametrul cercului = 2R.
Latura patratului este egala cu diagonala supra radical din 2.
 
Rezolvare:

 [tex]\displaystyle\\ D_{\square} = D_{\circ}\\\\ D_{\square} = 2R\\\\ L_{\square} = \frac{D_{\square}}{ \sqrt{2} }= \frac{2R}{ \sqrt{2} }= R\sqrt{2}=\boxed{\bf 12\sqrt{2}~cm}\\\\ P_{\square} = 4\times L_{\square} = 4\times 12\sqrt{2} = \boxed{\bf 48\sqrt{2}~cm}[/tex]

c)
Daca hexagonul regulat este circumscris cercului, atunci cercul este inscris int hexagonul regulat.
Raza cercului inscris in hexagon este egala cu apotema hexagonului regulat.
Apotema hexagonului este egala cu latura hexagonului ori radical din 3 pe 2.
Aria hexagonului este egala cu 6 inmultit cu latura ori apotema supra 2.

Rezolvare:

[tex]\displaystyle\\ \text{Calculam apotema hexagonului:}\\ R = a_{_H}~\Longrightarrow~a_{_H}=R=\boxed{\bf 12~cm}\\\\ \text{Calculam latura hexagonului:}\\ a_{_H}=\frac{L_{_H}\sqrt{3}}{2}\\\\ L_{_H}=\frac{a_{_H}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a_{_H}\times 2}{\sqrt{3}}=\frac{a_{_H}\times2\sqrt{3}}{3}=\frac{12\times2\sqrt{3}}{3}=4 \times2\sqrt{3}=\boxed{\bf8\sqrt{3}~cm}\\\\ \text{Calculam aria hexagonului:}\\ A=6\times\frac{L\times a}{2}=3\times8\sqrt{3}\times12=\boxed{\bf 288\sqrt{3}~cm^2} [/tex]