Question

ajutor va rog cat mai rapid​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$b = \frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{2}} +\frac{1}{ \sqrt{2} + \sqrt{3}} + ... +\frac{1}{ \sqrt{8} + \sqrt{9}} =$

$= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1}}{ (\sqrt{2} + \sqrt{1})(\sqrt{2} - \sqrt{1})} + \frac{ \sqrt{3} - \sqrt{2}}{ (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} + ... + \frac{ \sqrt{8} - \sqrt{7}}{ (\sqrt{8} + \sqrt{7})(\sqrt{8} - \sqrt{7})} + \frac{ \sqrt{9} - \sqrt{8}}{ (\sqrt{9} + \sqrt{8})(\sqrt{9} - \sqrt{8})}$

$= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1}}{2 - 1} + \frac{ \sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} + ... + \frac{ \sqrt{8} - \sqrt{7}}{8 - 7} + \frac{ \sqrt{9} - \sqrt{8}}{9 - 8}$

$= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1}}{1} + \frac{ \sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} + ... + \frac{ \sqrt{8} - \sqrt{7}}{1} + \frac{ \sqrt{9} - \sqrt{8}}{1}$

$= \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + ... + \sqrt{8} - \sqrt{7} + \sqrt{9} - \sqrt{8}$

$= \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Pentru a calcula valoarea lui b trebuie sa se rationalizee numitorul, adica sa nu mai existe radical la numitor. Rationalizarea se face amplificand fractia cu diferenta radicalilor, apoi se foloseste formula de calcul prescurtat (a+b)(a-b)=(a²-b²).

1/(√1+√2)=(√1-√2)/(√1+√2)((√1-√2)=(√1-√2)/(√1²-√2²)=(√1-√2)/(1-2)=(√1-√2)/(-1)=√2-√1

1/(√2+√3)=(√2-√3)/((√2+√3)(√2-√3)=(√2-√3)/(√2²-√3²)=(√2-√3)/(2-3)=(√2-√3)/(-1)=√3-√2

Se face la fel pentru fiecare fractie pana ajungem la ultima.

1/(√8+√9)=(√8-√9)/(√8+√9)(√8-√9)=(√8-√9)/(√8²-√9²)=(√8-√9)/(8-9)= (√8-√9)/(-1)= √9-√8.

Se inlocuiesc aceste valori in relatia initiala.  ⇒

1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+ .... +1/(√8+√9)= √2-√1+√3-√2+ ..... +√9-√8.

Se reduc termenii identici cu semne opuse si mai raman numai -√1+√9

1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+ .... +1/(√8+√9)=

= √2-√1+√3-√2+... +√9-√8=

=  -√1+√9= -1+3=2.    2 este numar natural.       2∈N